NWERC 2013 - J (codeforces gym - 100405J)

题目描述：给你一颗二叉树，保证每个点要么是叶子节点，要么有左右两个儿子。某些叶子节点上放着灯，请你移动最少的灯，使得整棵树平衡

对平衡的定义：对于树上的每个点左右儿子中灯数的差的绝对值≤1，那么这棵树平衡。总灯数sum≤1000.

解题思路：题目中强调的是移动，不能往里面添加，也不能从树中拿走。这个移动操作就给我们造成了一些困难，起初想一些dp的方法，感觉都不是很靠谱。

于是看了官方题解，题解中用了一步巧妙地转化，然后递归求解，很有借鉴意义。

首先对于移动操作次数最少，我们可以转化成，往树里插入sum个点，尽量把点放入本来有灯的位置，最大覆盖多少个的问题。那么原来没有灯，现在要放点，这些位置的个数就是答案。

完成这一步转化之后就要挖掘题目性质，绝对值差1这个性质十分重要，因为这近似于一步二分，也就是如果我们从顶点开始递归地往下放，那么最多进行logSUM层就能使得剩下的　可放点数达到0或1，这就使我们得到一种很可行的分治求解的方法：Get(x, cnt)表示向x这个点插入cnt个灯，向空点放的情况最少有多少个（也就是移动次数最少有多少次）。对于cnt是偶数的情况，就直接Get(x.left, cnt >> 1), Get(x.right, cnt >> 1), 而对于cnt是奇数，就要讨论一下左右放多放少这两种情况，取个min了。

递归的终止条件：①cnt == 0，返回0 ②x == 0 && cnt > 0返回INF（无解）③cnt == 1 子树中本来有灯返回1，无灯返回0

P.S.题目中并没有给总点数，经过分析总点数不会超过叶子节点的二倍。但是题目读入比较繁琐，字符串长度要开至少4000。

 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 const int MaxN = ;
 const int INF = ;
 struct Node {
     int left, right, father;
     int cLoc, cOn;
 }tree[MaxN + ];
 int n, tot, ans;
 char s[MaxN *  + ];

 void Init()
 {
     memset(tree, , sizeof(tree));
     int len = strlen(s);
     int p = ; n = ;
     for (int i = ; i < len; i++) {
         if (s[i] == '(') {
             if (tree[p].left == ) tree[p].left = ++n;
                 else tree[p].right = ++n;
             tree[n].father = p;
             p = n;
         }
         else if (s[i] == 'B') {
             tree[p].cOn = ;
             tree[p].cLoc = ;
             p = tree[p].father;
             i++;
         }
         else {
             int L = tree[p].left;
             int R = tree[p].right;
             tree[p].cOn = tree[L].cOn + tree[R].cOn;
             tree[p].cLoc = tree[L].cLoc + tree[R].cLoc;
             if (tree[p].cLoc == ) tree[p].cLoc = ;
             p = tree[p].father;
         }
     }
     //for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d %d %d\n", i, tree[i].cOn, tree[i].cLoc);
 }

 int Get(int x, int cnt)
 {
     if (cnt == ) return ;
     if (x == ) return INF;
     if (cnt == ) return (int)(tree[x].cOn == );
     if (cnt & ) {
         int cL1 = Get(tree[x].left, cnt >> );
         int cR1 = Get(tree[x].right, cnt - (cnt >> ));
         int cL2 = Get(tree[x].left, cnt - (cnt >> ));
         int cR2 = Get(tree[x].right, cnt >> );
         return min(cL1 + cR1, cL2 + cR2);
     }
     else {
         int cL = Get(tree[x].left, cnt >> );
         int cR = Get(tree[x].right, cnt >> );
         return cL + cR;
     }
 }

 int main()
 {
     while (~scanf("%s", s)) {
         Init();
         ans = Get(, tree[].cOn);
         if (ans >= INF) printf("impossible\n");
             else printf("%d\n", ans);
     }
 }