洛谷 4035 [JSOI2008]球形空间产生器

题目戳这里

一句话题意

给你 n+1 个 n 维点，需要你求出这个n维球的球心。(n<=10)

Solution

这个题目N维的话确实不好想，反正三维就已经把我搞懵了，所以只好拿二维类比。

首先因为球心到边上的点距离相等，所以我们可以列出三个式子：

设 球心坐标为(\(x_0\)，\(y_0\))

\((x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2=r^2\)

\((x_2-x_0)^2+(y_2-y_0)^2=r^2\)

\((x_3-x_0)^2+(y_3-y_0)^2=r^2\)

三个式子中都有r和平方项不好计算，所以我们用1式减2式，2式减3式，就得到两个式子：

\(x_1^2-x_2^2-2x_1x_0+2x_2x_0+y_1^2-y_2^2-2y_1y_0+2y_2y_0=0\)

\(x_2^2-x_3^2-2x_2x_0+2x_3x_0+y_2^2-y_3^2-2y_2y_0+2y_3y_0=0\)

而\(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3\)都是已知的，可以看成常数项和系数。

再整理一下：

\(2(x_2-x_1)x_0+2(y_2-y_1)y_0=x_2^2-x1^2+y_2^2-y_1^2\)

\(2(x_3-x_2)x_0+2(y_3-y_2)y_0=x_3^2-x2^2+y_3^2-y_2^2\)

很明显一个二元一次方程组，然后使用高斯消元就可以求出球心。

这样就很容易推到N维了，这里就不一一写出，大家自己手推一下吧。主要是太麻烦了

Coding

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105;
double s[N][N],ans[N],A[N][N];
int n,flag=1;
void Solve(int x)
{
  if(x==n){  ans[x]=s[x][n+1]/s[x][x]; return; }
  for(int i=x+1;i<=n;i++)
  {
    double box=abs(s[x][x])/abs(s[i][x]);
    if(s[x][x]*s[i][x]>0)
      for(int j=x;j<=n+1;j++)
        s[i][j]*=box,s[i][j]=s[i][j]-s[x][j];
    else
      for(int j=x;j<=n+1;j++)
        s[i][j]*=box,s[i][j]=s[i][j]+s[x][j];
  }
  Solve(x+1);
  for(int i=n;i>=x+1;i--)
  	s[x][n+1]-=(ans[i]*s[x][i]);
  ans[x]=s[x][n+1]/s[x][x];
  return ;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        scanf("%lf",&A[i][j]);
    for(int i=2;i<=n+1;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            s[i-1][j]=2*(A[i][j]-A[i-1][j]);
            s[i-1][n+1]+=(A[i][j]*A[i][j]-A[i-1][j]*A[i-1][j]);
        }
    Solve(1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    printf("%.3lf ",ans[i]);
    return 0;
}