AtCoder Beginner Contest 249 E - RLE // 动态规划 + 前缀和优化

传送门：E - RLE (atcoder.jp)

题意：

求满足原长为N且转换后长度严格小于N条件的小写字母组成的字符串的数量，输出时对P取模。

其中，转换规则为，将连续相同的字串替换为“字符数量+字符”，如aaa替换为3a。

思路：

• 状态表示：

  f_i,j：原长为i且转换后长度为j的字符串的数量。

• 状态转移：

　　初始化：将仅包含一种字符的所有字符串进行初始化。

　　转移：先考虑暴力做法：f_i,j：考虑最后一段连续相同字串的长度为k，其替换后的字串长度为u，那么f_i,j = 25 * ∑ f_i-k,j-u。注意到，u的取值最多仅有 { 2，3，4，5 }，那么进行前缀和优化一下，计算时就可以由枚举所有k变为枚举所有u， 整体复杂度由O(N³)变为O(N²lgN)。

代码参考：

//Jakon：dp + 前缀和优化
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

const int N = 3010, M = 4321;

int n, p;
LL dp[N][M], pres[N][M];
// dp[i][j]：原串长度为i，转化后长度为j的方案数

int cal(int x)
{
    int res = 2;
    if(x >= 10) ++ res;
    if(x >= 100) ++ res;
    if(x >= 1000) ++ res;
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n >> p;

    for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i][cal(i)] = 26;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= min(i * 2, M - 1); j++) {
            for(int mi = 1, k = 2; mi < i && k < j; mi *= 10, k++) {
                int l = max(0, i - mi * 10), r = i - mi;
                dp[i][j] = (dp[i][j] + 25 * (pres[r][j-k] - pres[l][j-k] + p)) % p;
            }
            pres[i][j] = (pres[i - 1][j] + dp[i][j]) % p;
        }
    }

    LL ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) ans = (ans + dp[n][i]) % p;
    cout << ans << endl;

    return 0;
}