算法笔记_054:Prim算法（Java）

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1 问题描述

2 解决方案

2.1 贪心法

 

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1 问题描述

何为Prim算法？

此处引用网友博客中一段介绍（PS：个人感觉网友的这篇博客对于Prim算法讲解的很清楚，本文与之相区别的地方在于具体实现代码的不同，该网友是使用C++实现，而本文是使用Java实现。其他理论讲解可以参考该网友的博客哦，具体链接看文末参考资料）

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

原理简单介绍：

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

2 解决方案

2.1 贪心法

本文具体编码使用数据参考自《算法设计与分析基础》第三版，下面是其具体图示：

具体代码如下：

package com.liuzhen.chapter8;

import java.util.ArrayList;

public class Prim {
    /*
     * 参数G：给定的图，其顶点分别为0~G.length-1，相应权值为具体元素的值
     * 函数功能：返回构造生成的最小生成树，以二维数组形式表示，其中元素为0表示最小生成树的边
     */
    public void getMinTree(int[][] G) {
        int[][] result = G;
        int[] vertix = new int[G.length];   //记录顶点是否被访问，如果已被访问，则置相应顶点的元素值为-2
        for(int i = 0;i < G.length;i++)
            vertix[i] = i;
        ArrayList<Integer> listV = new ArrayList<Integer>(); //保存已经遍历过的顶点
        listV.add(0);      //初始随意选择一个顶点作为起始点，此处选择顶点0
        vertix[0] = -2;    //表示顶点0被访问
        while(listV.size() < G.length) {  //当已被遍历的顶点数等于给定顶点数时，退出循环
            int minDistance = Integer.MAX_VALUE;    //用于寻找最小权值，初始化为int最大值，相当于无穷大的意思
            int minV = -1;   //用于存放未被遍历的顶点中与已被遍历顶点有最小权值的顶点
            int minI = -1;   //用于存放已被遍历的顶点与未被遍历顶点有最小权值的顶点  ；即G[minI][minV]在剩余的权值中最小
            for(int i = 0;i < listV.size();i++) {   //i 表示已被访问的顶点
                int v1 = listV.get(i);
                for(int j = 0;j < G.length;j++) {
                    if(vertix[j] != -2) {    //满足此条件的表示，顶点j未被访问
                        if(G[v1][j] != -1 && G[v1][j] < minDistance) {//G[v1][j]值为-1表示v1和j是非相邻顶点
                            minDistance = G[v1][j];
                            minV = j;
                            minI = v1;
                        }
                    }
                }
            }
            vertix[minV] = -2;
            listV.add(minV);
            result[minI][minV] = 0;
            result[minV][minI] = 0;
        }
        System.out.println("使用Prim算法，对于给定图中的顶点访问顺序为：");
        System.out.println(listV);
        System.out.println("使用Prim算法，构造的最小生成树的二维数组表示如下（PS：元素为0表示树的边）：");
        for(int i = 0;i < result.length;i++) {
            for(int j = 0;j < result[0].length;j++)
                System.out.print(result[i][j]+"\t");
            System.out.println();
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Prim test = new Prim();
        int[][] G = {{-1,3,-1,-1,6,5},
                {3,-1,1,-1,-1,4},
                {-1,1,-1,6,-1,4},
                {-1,-1,6,-1,8,5},
                {6,-1,-1,8,-1,2},
                {5,4,4,5,2,-1}};
        test.getMinTree(G);
    }
} 

运行结果：

使用Prim算法，对于给定图中的顶点访问顺序为：
[0, 1, 2, 5, 4, 3]
使用Prim算法，构造的最小生成树的二维数组表示如下（PS：元素为0表示树的边）：
-1    0    -1    -1    6    5
0    -1    0    -1    -1    0
-1    0    -1    6    -1    4
-1    -1    6    -1    8    0
6    -1    -1    8    -1    0
5    0    4    0    0    -1    

参考资料：

1.《算法设计与分析基础》第3版  Anany Levitin 著 潘彦 译

2.最小生成树-Prim算法和Kruskal算法