[学习笔记]2-SAT 问题

（本文语言不通，细节省略较多，不适合初学者学习）

解决一类简单的sat问题。

每个变量有0/1两种取值，m个限制条件都可以转化成形如：若x为0/1则y为0/1等等（x可以等于y）

具体：

每个变量拆成i，i+n两个点，表示取0和取1

对于x为0，y为1的情况，从x向y+n连接一条边，

发现有逆命题：若y为0，则x一定为1，从y向x+n连接一条边。

可以发现，这形成了一个有向图。

可以tarjan

无解的条件是：一个变量的i，i+n在同一个scc里。这样这个变量不论取哪个值，都必须取另外一个值。

至于怎么输出方案？

方法一：

tarjan启发缩点。同一个scc一个值确定，其他的值就都确定了。

现在是DAG，就要拓扑咯。

如果正常拓扑的话，入度为0的点，出度影响的是一大片。随便赋值很可能就错了。

0出度点比较温顺，不会影响别人的取值。

就建一个反向DAG。然后拓扑

自底向上，不断选择零出度点。

具体流程：

c[i]表示i属于的scc

2-SAT点的对称的，边的连法也是对称的，所以其实一个scc也是对称的。设opp[c[i]]=c[i+n],opp[c[i+n]]=c[i]

由于对称，对于一个scc中的任何点i，opp[c[i]]都是c[i+n]。

val[2*n]表示scc的赋值。

初始-1

1.队列开始的scc，编号k

如果val[k]=-1,则val[k]=0,val[opp[k]]=1 （前提条件：i是0，i+n是1）

val[k]=0表示选择这个scc的赋值可以取到自己。

否则跳过。

2.topo结束后，for(i=1,i<=n,i++)

如果val[c[i]]=0，表示，c[i]可以取到。那么i的值就是0

如果val[c[i]]=1,表示，我们先topo到了val[c[i+n]]，val[c[i+n]]=0,可以取。0就不可取了。

合并一下，恰好，i的实际值就是val[c[i]]

正确性：

一个链其实是一个块，证明时可以分别考虑。
因为图是对称的，根据bfs性质，如果先推到i，一定i+n会在i后面才推到。所以，其实整个链是连续的scc都取自己,即val[k]=0的。不存在i的一个后继没有选上，却选上了的情况

所以，

1.如果不存在一个i，满足i，i+n都在链上，一个链上的scc其实是同时取或者同时不取，一定满足条件。

2.如果存在一个i，i+n都在链上。先访问到的会选择上。假设i指向i+n，由于反向建图，会先访问i+n，变量i会赋值为1，代表0的i点没有选择自己，条件的假设本身就不满足了。这显然合法。

复杂度：线性。

方法二：
方法一好麻烦啊。还要缩点还要topo

发现一个性质：

tarjan本质是DFS

最先赋值的是底层的scc

本来就要自底向上topo，所以，干脆就把scc和opp[scc]的大小作为val好了。

即，c[i]>opp[c[i]]的话，那么意味着，tarjan的时候，先dfs出opp[c[i]]，对应topo中先把opp[c[i]]入队。

（由于刚才说了，topo实际上把一条链上的scc都选择自己，或者都不选择自己，和dfs先搜完一个子树再回溯如出一辙。整个子树scc缩点之后就是一条链，这条链的scc值都比对称的链scc小。即先赋值。）

所以，i就赋值为对面的1

反之就是0

发现，恰好，i的赋值就是c[i]>c[i+n]

仔细想想，其实我已经证明了方法二和方法一本质是一致的。

两者正确性的证明都是上面写的那个。

（upda2019.4.3：

这个证明和上面的不一样

发现两条链不是简单对称，而是“DNA双螺旋结构！”

也就是，反向对称的

而且发现，对于一条链，后继一定比前驱的编号小

不妨从1~n那排点考虑，所以，如果一个点被选择了，意味着c[i]<c[i+n]

由于反向对称，而i的后继对应的是i+n的前驱，所以编号一定也更小，一定也会被选择上。

所以正确。

）

方法二显然简单。

甚至不用缩点，tarjan完了，直接输出。

模板：

【模板】2-SAT 问题

#include<bits/stdc++.h>
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+;
void rd(int &x){
    x=;char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=(x<<)+(x<<)+numb);
}
int n,m;
struct node{
    int nxt,to;
}e[*N];
int hd[*N],cnt;
void add(int x,int y){
    e[++cnt].nxt=hd[x];
    e[cnt].to=y;
    hd[x]=cnt;
}
int sta[*N],top;
bool in[*N];
int c[*N],scc;
int dfn[*N],low[*N];
int df;
void tarjan(int x){
    //cout<<" x "<<x<<endl;
    dfn[x]=low[x]=++df;
    in[x]=;
    sta[++top]=x;
    for(int i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        //cout<<y<<endl;
        if(!dfn[y]){
            tarjan(y);low[x]=min(low[x],low[y]);
        }
        else if(in[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
    if(dfn[x]==low[x]){
        scc++;int z;
        do{
            z=sta[top--];in[z]=;c[z]=scc;
        }while(z!=x);
    }
}
int main(){
    rd(n);rd(m);
    int x,y,p,q;
    for(int i=;i<=m;i++){
        rd(x),rd(p),rd(y),rd(q);
        add(x+(-p)*n,y+q*n);
        add(y+(-q)*n,x+p*n);
    }
    for(int i=;i<=*n;i++){
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
        top=;
    }
    for(int i=;i<=n;i++){
        if(c[i]==c[i+n]){
            printf("IMPOSSIBLE");return ;
        }
    }
    printf("POSSIBLE\n");
    for(int i=;i<=n;i++){
        printf("%d ",c[i]>c[i+n]);
    }
    return ;
}