【bzoj1038】瞭望塔 半平面交

题目描述

致力于建设全国示范和谐小村庄的H村村长dadzhi，决定在村中建立一个瞭望塔，以此加强村中的治安。我们将H村抽象为一维的轮廓。如下图所示 我们可以用一条山的上方轮廓折线(x1, y1), (x2, y2), …. (xn, yn)来描述H村的形状，这里x1 < x2 < …< xn。瞭望塔可以建造在[x1, xn]间的任意位置, 但必须满足从瞭望塔的顶端可以看到H村的任意位置。可见在不同的位置建造瞭望塔，所需要建造的高度是不同的。为了节省开支，dadzhi村长希望建造的塔高度尽可能小。请你写一个程序，帮助dadzhi村长计算塔的最小高度。

输入

第一行包含一个整数n，表示轮廓折线的节点数目。接下来第一行n个整数, 为x1 ~ xn. 第三行n个整数，为y1 ~ yn。

输出

仅包含一个实数，为塔的最小高度，精确到小数点后三位。

样例输入

【输入样例一】
6
1 2 4 5 6 7
1 2 2 4 2 1
【输入样例二】
4
10 20 49 59
0 10 10 0

样例输出

【输出样例一】
1.000
【输出样例二】
14.500

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题解

半平面交

首先由于要看到所有点，因此选择的塔顶要在所有直线之上。因此求所有直线的上半平面的半平面交即为塔顶的范围。

由于要让塔的高度尽量小，因此塔顶的位置一定在半平面交下半部分的边上。

因此对于一个x，塔的高度就是 该点半平面交部分的高度-该点山的高度 。由于这两部分都是折线，作差也是折线。折线的最值只在拐点处取到，因此只需要枚举拐点位置即可。

细节超多又卡精。。。半平面交只能求封闭的凸多边形，因此需要在左、上、右各添加辅助线；辅助线不能影响半平面的范围，因此需要在山的左右端点处添加；辅助线的斜率不能是inf，因此不能与x轴垂直。

具体还是看代码吧。

时间复杂度 $O(n\log n)$

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 310
#define eps 1e-9
using namespace std;
typedef long double ld;
struct point
{
	ld x , y;
	point() {}
	point(ld a , ld b) {x = a , y = b;}
	point operator+(const point &a)const {return point(x + a.x , y + a.y);}
	point operator-(const point &a)const {return point(x - a.x , y - a.y);}
	point operator*(const ld &a)const {return point(x * a , y * a);}
	bool operator<(const point &a)const {return x < a.x;}
}p[N] , c[N];
struct line
{
	point p , v;
	ld ang;
}a[N] , q[N];
inline ld cross(point a , point b) {return a.x * b.y - a.y * b.x;}
inline bool left(line a , point b) {return cross(a.v , b - a.p) > eps;}
inline point inter(line a , line b)
{
	point u = a.p - b.p;
	ld tmp = cross(b.v , u) / cross(a.v , b.v);
	return a.p + a.v * tmp;
}
bool cmp(const line &a , const line &b)
{
	return fabs(a.ang - b.ang) < eps ? left(a , b.p) :  a.ang < b.ang;
}
int main()
{
	int n , i , l = 1 , r = 1 , t , tot = 1;
	ld ans = 1e20;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%Lf" , &p[i].x);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%Lf" , &p[i].y);
	for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) a[i].p = p[i] , a[i].v = p[i] - p[i + 1] , a[i].ang = atan2(a[i].v.y , a[i].v.x);
	a[n].p = point(0 , 1e20) , a[n].v = point(1 , 0) , a[n].ang = 0;
	a[n + 1].p = point(p[1].x , p[1].y) , a[n + 1].v = point(-1e-10 , 1) , a[n + 1].ang = atan2(1 , 0);
	a[n + 2].p = point(p[n].x , p[n].y) , a[n + 2].v = point(1e-10 , -1) , a[n + 2].ang = atan2(-1 , 0);
	sort(a + 1 , a + n + 3 , cmp);
	for(i = 2 ; i <= n + 2 ; i ++ )
		if(fabs(a[i].ang - a[i - 1].ang) > eps)
			a[++tot] = a[i];
	q[1] = a[1];
	for(i = 2 ; i <= tot ; i ++ )
	{
		while(l < r && left(a[i] , c[r - 1])) r -- ;
		while(l < r && left(a[i] , c[l])) l ++ ;
		q[++r] = a[i];
		if(l < r) c[r - 1] = inter(q[r - 1] , q[r]);
	}
	while(l < r && left(q[l] , c[r - 1])) r -- ;
	c[r] = inter(q[r] , q[l]);
	sort(c + l , c + r + 1);
	for(i = 1 , t = l ; i <= n ; i ++ )
	{
		while(t < r && c[t + 1] < p[i]) t ++ ;
		ans = min(ans , (p[i].x - c[t].x) * (c[t + 1].y - c[t].y) / (c[t + 1].x - c[t].x) + c[t].y - p[i].y);
	}
	for(i = l , t = 1 ; i <= r ; i ++ )
	{
		if(c[i] < p[1] || p[n] < c[i]) continue;
		while(t < n && p[t + 1] < c[i]) t ++ ;
		ans = min(ans , c[i].y - (c[i].x - p[t].x) * (p[t + 1].y - p[t].y) / (p[t + 1].x - p[t].x) - p[t].y);
	}
	printf("%.3Lf\n" , ans);
	return 0;
}