【题解】Atcoder AGC#16 E-Poor Turkeys

　　%拜！颜神怒A此题，像我这样的渣渣只能看看题解度日╭(╯^╰)╮在这里把两种做法都记录一下吧~

　　题解做法：可以考虑单独的一只鸡 u 能否存活。首先我们将 u 加入到集合S。然后我们按照时间倒序往回推，如果在时间 t 的时候发现有 u 和 v 同时被抉择，为了保证 u 的存活我们只能杀掉 v，也就是说在 t - 1的时刻 v 必须存活。这时我们将 v 加入到集合 S 中，再继续进行这个过程。如果在某个时刻我们发现 u 和 v 同时被抉择，可 u 和 v 都已经在集合中出现过了（要求在这个时刻一并存活），这样显然是非法的。所以可以判定 u 没有存活的可能。

　　如果一只鸡 u 能够存活，我们把这个过程中获得的 S 集合称作 \(S_{u}\) 。u 和 v 能够共存的充要条件即为 u 和 v 均有存活的可能，且 \(S_{u}\) 和 \(S_{v}\) 两个集合不存在交集。为什么呢？因为一只鸡在 t 时刻出现在了 S 集合中，说明它将在 t 时刻被杀掉。如果两个集合中 x 出现的时间不同，那么出现了冲突；但它们又不可能在同一个时间出现，因为一个时间节点只有唯一的一个抉择，反推回去也必然都是一样的，但开始的节点一个是 u，一个是 v，所以不可能。得证。

　　代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 405
#define maxm 100500
int n, m, x[maxm], y[maxm], mark[maxn];
int ans, S[maxn][maxn];

int read()
{
    int x = , k = ;
    char c; c = getchar();
    while(c < '' || c > '') { if(c == '-') k = -; c = getchar(); }
    while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();
    return x * k;
}

int main()
{
    n = read(), m = read();
    for(int i = ; i <= m; i ++) x[i] = read(), y[i] = read();
    for(int i = ; i <= n; i ++)
    {
        memset(mark, , sizeof(mark));
        mark[i] = ; S[i][++ S[i][]] = i;
        for(int j = m; j >= ; j --)
        {
            if(mark[x[j]] && mark[y[j]]) { S[i][] = -; break; }
            if(mark[x[j]]) mark[y[j]] = ;
            else if(mark[y[j]]) mark[x[j]] = ;
        }
        if(S[i][] == -) continue;
        for(int j = ; j <= n; j ++)
            if(mark[j]) S[i][] ++, S[i][S[i][]] = j;
    }

    for(int i = ; i <= n; i ++)
        for(int j = i + ; j <= n; j ++)
        {
            if(S[i][] == - || S[j][] == -) continue;
            memset(mark, , sizeof(mark)); bool flag = ;
            for(int k = ; k <= S[i][]; k ++) mark[S[i][k]] = ;
            for(int k = ; k <= S[j][]; k ++)
                if(mark[S[j][k]]) { flag = ; break; }
            if(flag) ans ++;
        }
    printf("%d\n", ans);
    return ;
}

　　下面是颜神的解法（并没有代码...）也非常的妙，而且复杂度比题解还低……可以考虑建出一张图，在这张图上面所有有连边的鸡均无法共存来获得答案。那么如何建出这张图？一个人选择了 u 和 v 这两只鸡，那么这两只鸡是一定不可能共存的。假设我们在 t - 1 时刻建出的图满足在 t - 1 时刻及之前出现的所有抉择所限制不能共存的鸡均有连边，那么考虑加入t时刻的抉择之后会对这张图产生什么影响。

　　考虑 u 和 v 的抉择，会使哪些原本可以和 u 共存的鸡不能再和 u 共存？

　　如果图中的一只鸡 x 与 u 没有连边，也与 v 没有连边，那么它与 u 的生死无关；

　　如果一只鸡 x 与 v 有连边，而与 u 没有连边，说明 u 和 x 不能共存，我们添加一条从 u 到 x 的边。因为 x 与 v 不能共存，所以若 x 存活，v 一定死亡。那么新的 u,v 边一定会导致 u 的死亡；若 x 死亡，那么 u 可能依然存活，也可能已经死亡；但在这两种情况下，x 都不能与 u 共存。对于 v 我们也是一样的添边。

　　最后检查一下哪些节点是可以共存的即可。