【以前的空间】bzoj1009 [HNOI2008]GT考试

动态规划+kmp+矩阵快速幂

关于这题可以写出一个dp方程(f[i,j]表示准考证前i位中后j位为不吉利的数字的前j位的情况的个数）

f[i,j]=Σf[i-1,k]，其中j表示不吉利数字前k个数字加上某个数字后变成为不吉利数字的前j位（比如不吉利数字122123，然后现在k=5，那么如果填个3，j=6（123123）；填个2，j=3（122）；填个1，j=1（1）；填个0,j=0。

然后我们就可以发现……好像可以用kmp算法来优化每次k+某个数字可以转移到的j的位置……因为j包括了前k个数字，那么j一定是在k的失配函数+1位或者不存在。

但是这样的话时间复杂度依然因为n过大而报表……。

于是神奇的矩阵来了！

没有发现似乎式子是递推式么？！

也就是F(n)是可以通过F(n-1)得到的！F(n)表示f[n,0],f[n,1],f[n,2]……f[n,m-1]的集合，或者说……一个1*(m-1)的矩阵。

矩阵的定义白书有句话说的特别好：“把一个向量v变成另一个向量v'，并且v'的每个分量都是v各个分量的线性组合”。什么是线性组合……就是一个线性方程组！对于这题来说，线性方程组就是：

F(n)=A*F(n-1) （这里A叫友矩阵，其实就是转移关系）

如果写出矩阵，式子就变成

[f(n,0)  ]     [a[0,0]  ,a[1,0]  ,a[2,0]  ,……，a[m-1,0]  ]   [f(n-1,0)  ]

[f(n,1)  ]     [a[0,1]  ,a[1,1]  ,a[2,1]  ,……，a[m-1,1]  ]   [f(n-1,1)  ]

[f(n,2)  ]   = [a[0,2]  ,a[1,2]  ,a[2,2]  ,……，a[m-1,2]  ] * [f(n-1,2)  ]

[ ……   ]     [  ……                                     ]   [ ……     ]

[f(n,m-1)]     [a[m-1,1],a[m-1,2],a[m-1,3],……，a[m-1,m-1]]   [f(n-1,m-1)]

式子中的a[i,j]表示不吉利数字前i位加上某个数字后可以转的j位的数量。

前面说的线性组合是什么意思？矩阵其实是一个线性方程组，形式就是：

a[0,0]*f[n-1,0]+a[1,0]*f(n-1,1)+a[2,0]*f(n-1,2)+……+a[m-1,0]*f[n-1,m-1]=f[n,0];

a[0,1]*f[n-1,0]+a[1,1]*f(n-1,1)+a[2,1]*f(n-1,2)+……+a[m-1,1]*f[n-1,m-1]=f[n,1];

a[0,2]*f[n-1,0]+a[1,2]*f(n-1,1)+a[2,2]*f(n-1,2)+……+a[m-1,2]*f[n-1,m-1]=f[n,2];

…………………………………………………

a[0,m-1]*f[n-1,0]+a[1,m-1]*f（n-1,1)+a[2,m-1]*f(n-1,2)+……+a[m-1,m-1]*f[n-1,m-1]=f[n,m-1]

看出来了么？

回到题目上，如果递推算F(n),显然不行，但是我们有一个递推式F(n)=A*F(n-1),它可以化为F(n)=A^n*F(0)。

那么现在要做的就是如何优化A^n，想到快速幂？是的，矩阵也有快速幂（具体到网上找吧，这就不是理解方面的了）

然后答案就是F(n)=A^n*F(0)。但是这个F（0）没什么意义啊，f[0,0]=1，其他都等于0。

这样像上面那样写出线性方程组的形式你就发现这个F(n)=a[0,0]+a[0,1]+a[0,2]+……+a[0,m-1],那最后就没有必要算F(0)*A^n,直接算上a[0,i]的和就行了！

然后联系一下A的意义……是不是有点感觉？A^i就是表示a[j,k]原来是前j位递推i次后能变成前k位的方案！蒟蒻感觉好神奇！

然后就好像初步学会了矩阵快速幂优化……

type
  arr=array[..,..]of longint;

var
  a,c,tmp:arr;
  b,p:array[..]of longint;
  i,j,k,l,n,m,mm,sum:longint;
  ch:char;

procedure mul(var x,y:arr);
var
  i,j,k:longint;
begin
  for i:= to m- do
    for j:= to m- do begin
      tmp[i,j]:=;
      for k:= to m- do
        tmp[i,j]:=(tmp[i,j]+x[i,k]*y[k,j])mod mm;
    end;
  for i:= to m- do
    for j:= to m- do
      x[i,j]:=tmp[i,j];
end;

begin
  readln(n,m,mm);
  for i:= to m do begin
    read(ch);
    b[i]:=ord(ch)-ord('');
  end;
  j:=;
  p[]:=;
  for i:= to m do begin
    while (j>) and (b[j+]<>b[i]) do j:=p[j];
    if b[j+]=b[i] then inc(j);
    p[i]:=j;
  end;
  for i:= to m- do
    for j:= to  do begin
      k:=i;
      while (k>) and (b[k+]<>j) do k:=p[k];
      if b[k+]=j then inc(k);
      if k<>m then c[i,k]:=(c[i,k]+)mod mm;
    end;
  fillchar(a,sizeof(a),);
  for i:= to m- do
    a[i,i]:=;
  while n> do begin
    if n and = then mul(a,c);
    mul(c,c);
    n:=n>>;
  end;
  sum:=;
  for i:= to m- do
    sum:=(sum+a[,i]) mod mm;
  writeln(sum);
  readln;
  readln;
end.