四边形不等式优化_石子合并问题_C++
在动态规划中,经常遇到形如下式的状态转移方程:
m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)(i≤k≤j)(min也可以改为max)
上述的m(i,j)表示区间[i,j]上的某个最优值。w(i,j)表示在转移时需要额外付出的代价。该方程的时间复杂度为O(N3)
下面我们通过四边形不等式来优化上述方程,首先介绍什么是“区间包含的单调性”和“四边形不等式”
1、区间包含的单调性:如果对于 i≤i'<j≤j',有 w(i',j)≤w(i,j'),那么说明w具有区间包含的单调性。(可以形象理解为如果小区间包含于大区间中,那么小区间的w值不超过大区间的w值)
2、四边形不等式:如果对于 i≤i'<j≤j',有 w(i,j)+w(i',j')≤w(i',j)+w(i,j'),我们称函数w满足四边形不等式。(可以形象理解为两个交错区间的w的和不超过小区间与大区间的w的和)
下面给出两个定理:
1、如果上述的 w 函数同时满足区间包含单调性和四边形不等式性质,那么函数 m 也满足四边形不等式性质
我们再定义 s(i,j) 表示 m(i,j) 取得最优值时对应的下标(即 i≤k≤j 时,k 处的 w 值最大,则 s(i,j)=k)。此时有如下定理
2、假如 m(i,j) 满足四边形不等式,那么 s(i,j) 单调,即 s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。
好了,有了上述的两个定理后,我们发现如果w函数满足区间包含单调性和四边形不等式性质,那么有 s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j) 。
即原来的状态转移方程可以改写为下式:
m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)(s(i,j-1)≤k≤s(i+1,j))(min也可以改为max)
由于这个状态转移方程枚举的是区间长度 L=j-i,而 s(i,j-1) 和 s(i+1,j) 的长度为 L-1,是之前已经计算过的,可以直接调用。
不仅如此,区间的长度最多有n个,对于固定的长度 L,不同的状态也有 n 个,故时间复杂度为 O(N^2),而原来的时间复杂度为 O(N^3),实现了优化!
今后只需要根据方程的形式以及 w 函数是否满足两条性质即可考虑使用四边形不等式来优化了。
以上描述状态用 m(i,j),后文用的 dp[i][j],所代表含意是相同的,特此说明。
以石子合并问题为例。
例如有6堆石子,每堆石子数依次为3 4 6 5 4 2
因为是相邻石子合并,所以不能用贪心(每次取最小的两堆合并),只能用动归。(注意:环形石子的话,必须要考虑最后一堆和第一堆的合并。)
例如:一个合并石子的方案:
第一次合并 3 4 6 5 4 2 ->7
第二次合并 7 6 5 4 2 ->13
第三次合并 13 5 4 2 ->6
第四次合并 13 5 6 ->11
第五次合并 13 11 ->24
总得分=7+6+11+13+24=61 显然,比贪心法得出的合并方案(得分:62)更优。
动归分析类似矩阵连乘等问题,得出递推方程:
设 dp[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子合并的最优值,sum[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子的总数量。
(可以在计算开始先做一遍求所有的 sum[i],表示求出所有第1堆到第i堆的总数量。则 sum[i][j]=sum[j]-sum[i]。这样计算比较快。)
那么就有状态转移公式:
这里 i<=k<j
普通解法需要 O(n^3)。下面使用四边形不等式进行优化。
首先判断是否符合区间单调性和四边形不等式。
i i' j j'
3 4 6 5 4 2
单调性:
w[i',j] = 4+6+5=15 w[i,j'] =3+4+6+5+4+2=24
故w[i',j] <= w[i,j'] 满足单调性
四边形不等式:
w[i,j] + w[i',j'] = (3+4+6+5) + (4+6+5+4+2) = 18+21 = 39
w[i',j] + w[i,j'] = (4+6+5) + (3+4+6+5+4+2) = 15 + 24 = 39
故 w[i,j] + w[i',j'] <= w[i',j] + w[i,j']
故石子合并可利用四边形不等式进行优化。
利用四边形不等式,将原递推方程的状态转移数量进行压缩(即缩小了k的取值范围)。
令 s[i][j]=min{k | dp[i][j] = dp[i][k-1] + dp[k][j] + w[i][j]},即计算出 dp[i][j] 时的最优的 k 值(本例中寻优为取最小)
也可以称为最优决策时的 k 值。由于决策 s 具有单调性,因此状态转移方程中的 k 的取值范围可修改为 :
s[i,j-1] <= s[i,j] <= s[i+1,j]
边界:s[i,i] = i
因为 s[i,j] 的值在 m[i,j] 取得最优值时,保存和更新,因此 s[i,j-1] 和 s[i+1,j] 都在计算 dp[i][j-1] 以及 dp[i+1][j] 的时候已经计算出来了。
因此,s[i][j] 即 k 的取值范围很容易确定。
根据改进后的状态方程,以及 s[i][j] 的定义方程,可以很快的计算出所有状态的值。计算过程可以如下表所示(类似于矩阵连乘的打表)。
状态表(如果是环形石子合并,需要打2n*2n的表)
3 4 6 5 4 2
例如:
计算dp[1][3],由于s[1][2]=1,s[2][3]=2,则k值的取值范围是1<=k<=2
则,dp[1][3]=min{dp(1,1)+dp(2,3)+13, dp(1,2)+dp(3,3)+13}=min{10+13, 7+13}=20,将其填到状态表。同时,由于取最优值的k等于2,则将其填到s表。
同理,可以计算其他状态表和s表中的值。
dp[2][4]=min{dp(2,2)+dp(3,4)+15, dp(2,3)+dp(4,4)+15}=min{11+15, 10+15}=25
k=3
从表中可以看出,当计算dp[2][5]的时候,由于s[ i,j-1]=s[ 2,4]=3,s[ i+1,j]=s[3,5]=3,此时k的取值范围已经限定为只有一个,大幅缩短了寻找最优解的时间。
这里给出程序代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std; const int N=;
const int INF=0x7fffffff;
int n;
int a[N],sum[N],dp[N][N],s[N][N];
void f();
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
sum[]=;
for (int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-]+a[i];
}
f();
printf("%d\n",dp[][n]);
}
return ; }
void f()
{
for (int i=;i<=n;i++) dp[i][i]=,s[i][i]=i;
for (int r=;r<n;r++)
{
for (int i=;i<n;i++)
{
int j=i+r;
if(j>n) break;
dp[i][j]=INF;
for (int k=s[i][j-];k<=s[i+][j];k++)
{
if(dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+][j])
{
dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+][j];
s[i][j]=k;
}
}
dp[i][j]+=sum[j]-sum[i-];
}
}
}
本文转载自网易博客:
http://blog.163.com/dqx_wl/blog/static/2396821452015111133052112/
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