【BZOJ4373】算术天才⑨与等差数列 [线段树]

算术天才⑨与等差数列

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Description

　　算术天才⑨非常喜欢和等差数列玩耍。
　　有一天，他给了你一个长度为n的序列，其中第i个数为a[i]。
　　他想考考你，每次他会给出询问l,r,k，问区间[l,r]内的数从小到大排序后能否形成公差为k的等差数列。
　　当然，他还会不断修改其中的某一项。
　　为了不被他鄙视，你必须要快速并正确地回答完所有问题。
　　注意：只有一个数的数列也是等差数列。

Input

　　第一行包含两个正整数n,m，分别表示序列的长度和操作的次数。
　　第二行包含n个整数，依次表示序列中的每个数a[i]。
　　接下来m行，每行一开始为一个数op，
　　若op=1，则接下来两个整数x,y，表示把a[x]修改为y。
　　若op=2，则接下来三个整数l,r,k，表示一个询问。
　　在本题中，x,y,l,r,k都是经过加密的，都需要异或你之前输出的Yes的个数来进行解密。

Output

输出若干行，对于每个询问，如果可以形成等差数列，那么输出Yes，否则输出No。

Sample Input

　　5 3
　　1 3 2 5 6
　　2 1 5 1
　　1 5 4
　　2 1 5 1

Sample Output

　　No
　　Yes

HINT

　　1<=n,m<=300000, 0<=a[i]<=10^9, 1<=x<=n，0<=y<=10^9, 1<=l<=r<=n, 0<=k<=10^9

Solution

　　显然，如果可以组成等差数列，首项必定是区间最小值。这样我们就知道了要求的等差数列的首项和公差。

　　一个首先的想法就是：我们判断一下区间和是否等于所要求的等差数列的和。

　　但是这样显然是不够的，那么怎么办呢？我们试想：能否求出所要求的等差数列的平方和？

　　显然公差为 1 的时候用平方和公式计算，剩下公差不是 1 的时候我们轻易推一下式子即可。

　　

　　那么我们只要用线段树维护一下：区间最小值、区间和、区间平方和即可，资磁单点修改。

　　正确性不会证明啊，但是满足的概率应该挺大的吧qwq

Code

 #include<iostream>
 #include<string>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 using namespace std;
 typedef long long s64;

 const int ONE = ;
 const int INF = 1e9+;

 int n, T;
 s64 a[ONE];
 int opt, x, y, d;
 int num;

 struct power
 {
         s64 sumx, sumxx, minx;
 }Node[ONE * ], res;

 int get()
 {
         int res=,Q=;char c;
         while( (c=getchar())< || c> )
         if(c=='-')Q=-;
         res=c-;
         while( (c=getchar())>= && c<= )
         res=res*+c-;
         return res*Q;
 }

 void Renew(int i)
 {
         int a = i<<, b = i<<|;
         Node[i].sumx = Node[a].sumx + Node[b].sumx;
         Node[i].sumxx = Node[a].sumxx + Node[b].sumxx;
         Node[i].minx = min(Node[a].minx, Node[b].minx);
 }

 void Build(int i, int l, int r)
 {
         Node[i].minx = INF;
         if(l == r)
         {
             Node[i].minx = a[l];
             Node[i].sumx = a[l];
             Node[i].sumxx = a[l] * a[l];
             return;
         }

         int mid = l + r >> ;
         Build(i<<, l, mid);  Build(i<<|, mid+, r);
         Renew(i);
 }

 void Update(int i, int l, int r, int L, s64 x)
 {
         if(l > r) return;
         if(L == l && l == r)
         {
             Node[i].minx = x;
             Node[i].sumx = x;
             Node[i].sumxx = x * x;
             return;
         }

         int mid = l + r >> ;
         if(L <= mid) Update(i<<, l, mid, L, x);
         else Update(i<<|, mid+, r, L, x);
         Renew(i);
 }

 void Query(int i, int l, int r, int L, int R)
 {
         if(L <= l && r <= R)
         {
             res.minx = min(res.minx, Node[i].minx);
             res.sumx += Node[i].sumx;
             res.sumxx += Node[i].sumxx;
             return;
         }

         int mid = l + r >> ;
         if(L <= mid) Query(i<<, l, mid, L, R);
         if(mid+ <= R) Query(i<<|, mid+, r, L, R);
 }

 s64 Calc_sumx(s64 a0, s64 n, s64 d)
 {
         s64 an = a0 + (n-) * d;
         return (a0 + an) * n / ;
 }

 s64 Calc_sumxx(s64 a0, s64 n, s64 d)
 {
         s64 item1 = n * a0 * a0;
         s64 item2 =  * a0 * d * n * (n-) / ;
         s64 item3 = d * d * (n * (n+) * (*n+) /  - n*n);
         return item1 + item2 + item3;
 }

 int main()
 {
         n = get();  T = get();
         for(int i=; i<=n; i++)
             a[i] = get();
         Build(, , n);

         while(T--)
         {
             opt = get();
             x = get() ^ num;    y = get() ^ num;

             if(opt == )
             {
                 Update(, , n, x, y);
                 continue;
             }
             else
             {
                 d = get() ^ num;
                 res.minx = INF;
                 res.sumx = res.sumxx = ;
                 Query(, , n, x, y);

                 if(res.sumx == Calc_sumx(res.minx, y-x+, d))
                 if(res.sumxx == Calc_sumxx(res.minx, y-x+, d))
                 {
                     printf("Yes\n");
                     num++;
                     continue;
                 }

                 printf("No\n");
             }
         }

 }