【大杀器】利用划分树秒杀区间内第k大的数
最近看了一道题,大概就是给出一个序列,不断询问其子区间内第k大的数,下面是个截图
绕了一圈没找到中文版题目,if(你是大佬) then 去看截图;else{我来解释:给出一个整数n,和一个整数m,分别表示序列元素个数和询问次数,然后输入n个数和m个询问,每个询问包含3个数,分别是区间起止点(l和r)和k,求出区间内第k大的数并输出;}这是一道很简单的模板题,怎么解决呢?小编最初想到的是打暴力,正所谓暴力出奇迹,说不定可以成功,反正不会优化,先试试吧,直接把规定区间[l,r]排一次序了,然后在查找一遍第k大的数,但是毫无疑问,绝对会超时,怎样能减少时间复杂度呢?这是就请出了二分。
二分运用了分治的思想,不断将子区间分成两半,直到找到第k大的数,虽然很高效,但是面对这道题的多次询问,二分也只能表示手软,仍然过不了这道题。但是如果换成了线段树的结构,效率则会快很多,线段树看起来也用了分治的思想,把原来的整个序列都大约相等的长度分到左子树和右子树,不断分下去,直到全部分成叶子节点,在逐次确定下一层第k大的数在左子树还是右子树,虽然这种树能成功AC,但是并不是最优的,做题不能只讲求AC,下面就来讲一讲线段树的升级版——划分树。
什么是划分树?
划分树是一种基于线段树的数据结构,也利用了分治的思想,却比线段树高效很多,这是为什么?因为划分树又多了一个性质:在划分时不是随意划分,也不是排序后直接划分(因为这样会破坏原有结构),而是排序后仍保持原来的相对顺序再分到左右子树。
具体实现方法:
整个过程分为建树和查询两个阶段:
//copy来的图
1)建树:首先定义一个数组tree[30][1000]第一个维度表示层数,第二个维度表示这一层第i个数的值,用来表示这棵划分树,然后定义sorted[1000]数组,用来存储排序好的原序列,然后记录每一层前i个数有多少进入了下一层的左子树,存在toleft[30][1000]数组中,在建树中没用,但记录下来对查找时有用,用分治的思想分配左子树和右子树,将不大于中间值mid的数分配到左子树中去,大于中间值的分配到右子树中去,但有时为了左右尽可能个数相等,要把等于中间值的数两边都分配,于是定义same来存储多少等于中间值的数进入左子树,分配完毕后再递归分配左子树和右子树。身为递归,怎么也要有个出口吧,递归到叶子节点时就返回,即if(l==r) return;
2)查询:按照之前存储下的进入下一层左子树个数的数组toleft,可以计算出区间内第k大的数在当前节点的左子树还是右子树,并计算出下一层相应子树的左右边界,然后递归相应子树,同上,递归出口也是到达叶子节点时返回。详见注释……
废话不多说,代码呈上:
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int tree[][],sorted[],toleft[][],n,m,ans;//tree和toleft的两个维度分别存储深度和序列,sorted存储的是排序好的序列
void buildtree(int l,int r,int dep)//构建划分树
{
if(l==r) return;//遇见叶子节点就返回
int mid=(l+r)/;//二分
int same=mid-l+;//same最终保存的是和中间值相同元素的个数,以便确定分到哪一区间
for(int i=l;i<=r;i++)
if(tree[dep][i]<sorted[mid]) same--;
int lpos=l;int rpos=mid+;//左指针和右指针,并非常用的指针,是用来保存现在各区间内元素个数
for(int i=l;i<=r;i++)
{
if(tree[dep][i]<sorted[mid])//小于中间值
tree[dep+][lpos++]=tree[dep][i];//分配到左子区间
else if(tree[dep][i]==sorted[mid]&&same>)//等于中间值且相同个数大于0
{
same--;
tree[dep+][lpos++]=tree[dep][i];//分配到右子区间
}
else tree[dep+][rpos++]=tree[dep][i];//剩下的分配到右子区间
toleft[dep][i]=toleft[dep][l-]+lpos-l;//toleft数组记录这一层前i个数有多少个进入下一层的左子区间,查询时有用
}
buildtree(l,mid,dep+);//构建左子区间(左子树)
buildtree(mid+,r,dep+);//构建右子区间(右子树)
}
int search(int L,int R,int l,int r,int dep,int k)//查询第k大的数
{
if(l==r) return tree[dep][l];//查询到符合要求的叶子节点,返回相应的值
int mid=(L+R)/;//L,R为大区间(主要是每个左子树,右子树的边界)
int cnt=toleft[dep][r]-toleft[dep][l-];//求出[l,r]区间内有多少数进入下一层左子区间
if(cnt>=k)//第k大的数对应节点在左子树
{
int newl=L+toleft[dep][l-]-toleft[dep][L-];//求出下一层第k大的数所在区间边界
int newr=newl+cnt-;
return search(L,mid,newl,newr,dep+,k);
}
else//在右子树
{
int newr=r+toleft[dep][R]-toleft[dep][r];//求出下一层第k大的数所在区间边界
int newl=newr-(r-l-cnt);
return search(mid+,R,newl,newr,dep+,k-cnt);
}
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=;i<=n;i++)
{
cin>>tree[][i];
sorted[i]=tree[][i];
}
sort(sorted+,sorted+n+);//为sorted数组排序
buildtree(,n,);//建树
int a,b,c;
for(int i=;i<=m;i++)
{
cin>>a>>b>>c;//输入询问
cout<<search(,n,a,b,,c)<<endl;//查询第k大的数
}
return ;
}
//额~好像忘了改scanf和printf了,没过别怪我……
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