BZOJ 3118 Orz the MST

权限题qwq

如果我们要使得某棵生成树为最小生成树,那么上面的边都不能被替代,具体的,对于一个非树边,它的权值要\(\ge\)它两端点在树上的路径上的所以边的权值,所以对于每个非树边就可以对一些树边列出不等关系,并且显然要把树边减小边权,非树边增加边权才会更优,所以记树边减少量为\(dt_a\),非树边增加量为\(dt_b\),就可以改写成不等式\(dt_a+dt_b\ge \max(w_a-w_b,0)\).那么问题变成若干变量,每个变量每增加\(1\)要付出一定代价,求最小代价满足所有不等式

这个不等式的形式有点不好下手,考虑这个问题的对偶问题,这等价于对于每个不等式\(i\)确定一个非负权值,每有一个权值获得\(max(w_a-w_b,0)\)的收益,同时满足权值\(\le\)对应树边和非树边修改一次的代价,求最大收益.那么可以网络流解决,\(S\)向所有树边连容量/费用为\((c_a,0)\)的边,非树边向\(T\)连\((c_b,0)\)的边,有不等式关系的一组边连\((+\infty,max(w_a-w_b,0))\)的边,然后最大费用流即可

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define uLL unsigned long long
#define db double

using namespace std;
const int N=2000+10,M=N*100,inf=1<<30;
int rd()
{
    int x=0,w=1;char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*w;
}
int to[M],nt[M],c[M],w[M],hd[N],tot=1;
void add(int x,int y,int z,int zz)
{
    ++tot,to[tot]=y,nt[tot]=hd[x],c[tot]=z,w[tot]=zz,hd[x]=tot;
    ++tot,to[tot]=x,nt[tot]=hd[y],c[tot]=0,w[tot]=-zz,hd[y]=tot;
}
int ps,pt,di[N],fw[N],pr[N],cst;
bool v[N];
queue<int> q;
bool csfl()
{
    for(int i=0;i<=pt;++i) di[i]=inf;
    di[ps]=0,fw[ps]=inf,fw[pt]=0,v[ps]=1,q.push(ps);
    while(!q.empty())
    {
    	int x=q.front();
    	q.pop();
    	for(int i=hd[x];i;i=nt[i])
    	{
    	    int y=to[i];
    	    if(c[i]>0&&di[y]>di[x]+w[i])
    	    {
        		di[y]=di[x]+w[i];
        		fw[y]=min(fw[x],c[i]),pr[y]=i;
        		if(!v[y]) v[y]=1,q.push(y);
    	    }
    	}
    	v[x]=0;
    }
    if(!fw[pt]||di[pt]>=0) return 0; //边权取反做最大费用流,增广的权值不优就停止
    cst+=di[pt]*fw[pt];
    int x=pt;
    while(x!=ps)
    {
    	int i=pr[x];
    	c[i]-=fw[pt],c[i^1]+=fw[pt];
    	x=to[i^1];
    }
    return 1;
}
int n,m,ee[N][2],ew[N],cs[N],fa[N],pre[N],de[N];
bool fg[N];
void dd(int x)
{
    for(int i=hd[x];i;i=nt[i])
    {
    	int y=to[i];
    	if(y==fa[x]) continue;
    	if(fg[i>>1]) fa[y]=x,pre[y]=i>>1,de[y]=de[x]+1,dd(y);
    }
}
void link(int i,int j)
{
    int ss=max(0,ew[i]-ew[j]);
    add(i,j,inf,-ss);
}

int main()
{
    freopen("3118.in","r",stdin);
    freopen("3118.out","w",stdout);
    n=rd(),m=rd();
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
    	int x=rd(),y=rd();
    	add(ee[i][0]=x,ee[i][1]=y,0,0);
    	ew[i]=rd(),fg[i]=rd();
    	if(fg[i]) rd(),cs[i]=rd();
    	else cs[i]=rd(),rd();
    }
    de[1]=1,dd(1);
    memset(hd,0,sizeof(int)*(n+3)),tot=1;
    ps=0,pt=m+2;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
    	if(fg[i]) add(ps,i,cs[i],0);
    	else
    	{
    	    add(i,pt,cs[i],0);
    	    int x=ee[i][0],y=ee[i][1];
    	    if(de[x]<de[y]) swap(x,y);
    	    while(de[x]>de[y]) link(pre[x],i),x=fa[x];
    	    while(x!=y)
    	    {
        		link(pre[x],i),x=fa[x];
        		link(pre[y],i),y=fa[y];
    	    }
    	}
    }
    while(csfl());
    printf("%d\n",-cst);
    return 0;
}