[CSP-S模拟测试]:多维网格（组合数学+容斥）

题目传送门（内部题138）

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输入格式

　　输入数据第一行为两个整数$d,n$。
　　第二行$d$个非负整数$a_1,a_2,...,a_d$。    
　　接下来$n$行，每行$d$个整数，表示一个坏点的坐标。数据保证坏点在网络范围内，且不会是点$A$或点$B$。

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输出格式

　　一个整数，为从点$A$移动到点$B$的不同的路径数对$10^9+7$取模后的值。

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样例

样例输入：

2 1
2 1
1 0

样例输出：

1

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数据范围与提示

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题解

先来考虑$n=0$的情况，利用组合数学，答案就是：

$$ans=(\sum\limits_{i=1}^d a_i)!\times \prod\limits_{i=1}^d(a_i!)^{-1}$$。

再来考虑$n\neq 0$的情况。

考虑容斥。

不妨设$dp[i]$表示从$A$点出发到达$i$点的合法路径条数，$g[i][j]$表示从$i$到$j$的任意路径条数，则有：

$$dp[i]=g[A][i]-\sum\limits_{j=1}^{i-1}dp[j]\times g[j][i]$$

时间复杂度：$\Theta(n^2d)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
struct rec{int d[101];}a[502];
int d,n;
int fac[10000001],inv[10000001];
long long dp[502];
long long qpow(long long x,long long y)
{
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;y>>=1;
	}
	return res;
}
void pre_work()
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=10000000;i++)fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod;
	inv[10000000]=qpow(fac[10000000],mod-2);
	for(int i=10000000;i;i--)inv[i-1]=1LL*inv[i]*i%mod;
}
bool cmp(rec a,rec b){for(int i=1;i<=d;i++)if(a.d[i]!=b.d[i])return a.d[i]<b.d[i];}
long long ask(rec a,rec b)
{
	int now=0;
	long long res=1;
	for(int i=1;i<=d;i++)
	{
		if(b.d[i]<a.d[i])return 0;
		now+=b.d[i]-a.d[i];
		res=res*inv[b.d[i]-a.d[i]]%mod;
	}
	return res*fac[now]%mod;
}
int main()
{
	pre_work();scanf("%d%d",&d,&n);
	for(int i=1;i<=n+1;i++)
		for(int j=1;j<=d;j++)
			scanf("%d",&a[i].d[j]);
	sort(a+1,a+n+2,cmp);
	for(int i=1;i<=n+1;i++)
	{
		dp[i]=ask(a[0],a[i]);
		for(int j=1;j<i;j++)dp[i]=(dp[i]-ask(a[j],a[i])*dp[j]%mod+mod)%mod;
	}
	printf("%lld",dp[n+1]);
	return 0;
}

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