【PowerOJ1740&网络流24题】圆桌聚餐(最大流)
题意:
来自n个不同国家的代表开会,每个国家代表数为ci 会场有m张圆桌,每张桌子可容纳mi人 不希望有同一个国家的代表在同一张桌子上就餐 设计一个合法方案
(n,m<=300)
思路:最大流,保存原边上限,与残余网络比较是否有所变动即可。
【问题分析】
二分图多重匹配问题,可以用最大流解决。
【建模方法】
建立二分图,每个单位为X集合中的顶点,每个餐桌为Y集合中的顶点,增设附加源S和汇T。
1、从S向每个Xi顶点连接一条容量为该单位人数的有向边。
2、从每个Yi顶点向T连接一条容量为该餐桌容量的有向边。
3、X集合中每个顶点向Y集合中每个顶点连接一条容量为1的有向边。
求网络最大流,如果最大流量等于所有单位人数之和,则存在解,否则无解。对于每个单位,从X集合对应点出发的所有满流边指向的Y集合的顶点就是该单位人员的安排情况(一个可行解)。
【建模分析】
对于一个二分图,每个顶点可以有多个匹配顶点,称这类问题为二分图多重匹配问题。X,Y集合之间的边容量全部是1,保证两个点只能匹配一次(一个餐桌上只能有一个单位的一个人),源汇的连边限
制了每个点匹配的个数。求出网络最大流,如果流量等于X集合所有点与S边容量之和,那么则说明X集合每个点都有完备的多重匹配。
【问题另解】
贪心,更好的方法其实是贪心。首先把所有单位和餐桌按人数从大到小排序,一种适当的贪心策略就是对于每个单位,所有人每次尽量去剩余容量较大的餐桌就坐。按照这种贪心策略,如果某时发现有人
已经无法就坐,则无解。具体方法为用线段树维护餐桌的剩余容量,按人数从多到少安排每个单位的人员,每次安排就是把容量餐桌前k大的餐桌人数减1(k为该单位人数)。为保证线段树前k位时刻为前
k大,要维护第k与第k+1,k+2,...人数与第k相等的位置,减少第k大时要减少尽量靠后的,这样才能保证单调。
UPD(19.10.28):显然这个线段树维护的贪心做法只有在判断是否有解的时候有用,因为光输出方案的复杂度就比它大
其次这个前k大变动的时刻真的能维护?理解不能……
UPD(19.10.29):听说splay可以做,要支持区间-1和把前k大的区间抠出来,等其他题目结束以后写一下,感觉细节有点多
var head,vet,next,len,dis,gap,ob,save,fan:array[..]of longint;
a,b,q:array[..]of longint;
num:array[..,..]of longint;
n,m,i,j,src,source,tot,s,sum:longint; procedure add(a,b,c:longint);
begin
inc(tot);
next[tot]:=head[a];
vet[tot]:=b;
len[tot]:=c;
head[a]:=tot; inc(tot);
next[tot]:=head[b];
vet[tot]:=a;
len[tot]:=;
head[b]:=tot;
end; function min(x,y:longint):longint;
begin
if x<y then exit(x);
exit(y);
end; function dfs(u,aug:longint):longint;
var e,v,t,val,flow:longint;
begin
if u=src then exit(aug);
e:=head[u]; val:=s-; flow:=;
while e<> do
begin
v:=vet[e];
if len[e]> then
begin
if dis[u]=dis[v]+ then
begin
t:=dfs(v,min(len[e],aug-flow));
len[e]:=len[e]-t;
len[fan[e]]:=len[fan[e]]+t;
flow:=flow+t;
if dis[source]>=s then exit(flow);
if aug=flow then break;
end;
val:=min(val,dis[v]);
end;
e:=next[e];
end;
if flow= then
begin
dec(gap[dis[u]]);
if gap[dis[u]]= then dis[source]:=s;
dis[u]:=val+;
inc(gap[dis[u]]);
end;
exit(flow);
end; function maxflow:longint;
var ans:longint;
begin
fillchar(gap,sizeof(gap),);
fillchar(dis,sizeof(dis),);
gap[]:=s; ans:=;
while dis[source]<s do ans:=ans+dfs(source,maxlongint);
exit(ans);
end; procedure print;
var i,j,s:longint;
begin
writeln();
for i:= to n do
begin
s:=;
for j:= to m do
if len[num[i,j]]<>save[num[i,j]] then begin inc(s); q[s]:=j; end;
for j:= to s- do write(q[j],' ');
write(q[s]);
writeln;
end;
end; begin
assign(input,'poweroj1740.in'); reset(input);
assign(output,'poweroj1740.out'); rewrite(output);
readln(n,m);
for i:= to do
if i mod = then fan[i]:=i+
else fan[i]:=i-;
for i:= to n do begin read(a[i]); sum:=sum+a[i]; end;
for i:= to m do read(b[i]);
s:=n+m+; source:=n+m+; src:=n+m+;
for i:= to n do
for j:= to m do
begin
num[i,j]:=tot+; add(i,j+n,);
end;
for i:= to tot do save[i]:=len[i];
for i:= to n do add(source,i,a[i]);
for i:= to m do add(i+n,src,b[i]);
if maxflow<sum then writeln()
else print;
close(input);
close(output);
end.
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