[APIO 2010] [LOJ 3144] 奇怪装置 (数学)

[APIO 2010] [LOJ 3144] 奇怪装置 (数学)

题面

略

分析

考虑t1,t2时刻坐标相同的条件

\[\begin{cases} t_1+\lfloor \frac{t_1}{B} \rfloor \equiv t_2+\lfloor \frac{t_2}{B} \rfloor (\mathrm{mod}\ A) \\ t_1 \equiv t_2 (\mathrm{mod}\ B)\\ \end{cases}
\]

由第二个式子，可以令\(t_1=t_2+Bk(k \in N)\)

代入式子1，\(t_2+Bk+\lfloor \frac{t_2}{B}+k \rfloor \equiv t_2+\lfloor \frac{t_2}{B} \rfloor(\mathrm{mod} \ A)\)

消元得\((B+1)k \equiv 0 (\mathrm{mod} \ A)\)

因此\(k|\frac{A}{gcd(A,B+1)}\),

代入上式，\(t_1=t_2+B\frac{A}{gcd(A,B+1)}(k \in N)\)

\(t_1 \equiv t _2 \ (\mathrm{mod} \frac{AB}{gcd(A,B+1)})\)

因此，可以把l,r取模\(\frac{AB}{gcd(A,B+1)}\),然后问题就变成在\([0,\frac{AB}{gcd(A,B+1)}]\)上有若干条线段，求线段的并

直接排序再\(O(n)\)扫一遍即可

注意\(\frac{AB}{gcd(A,B+1)}\)可能会超过long long范围，但注意到l,r都\(\leq 2 \times 10^{18}\),如果\(\frac{AB}{gcd(A,B+1)}\)超过就强行设成$ 2 \times 10^{18}$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 1000000
#define maxr 2e18
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,A,B;
inline ll gcd(ll a,ll b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

struct seg{
	ll l;
	ll r;
	seg(){

	}
	seg(ll _l,ll _r){
		l=_l;
		r=_r;
	}
	friend bool operator < (seg p,seg q){
		if(p.l==q.l) return p.r<q.r;
		else return p.l<q.l;
	}
}a[maxn+5],b[maxn*2+5];
int cnt=0;
int main(){
	scanf("%I64d %I64d %I64d",&n,&A,&B);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%I64d %I64d",&a[i].l,&a[i].r);
	}
	ll C=A/gcd(A,B+1);
	if(maxr/B<=C) C=maxr; //B*C<=2e18
	else C=C*B;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i].r-a[i].l>=C){
			printf("%I64d\n",C);
			return 0;
		}
		if(a[i].l%C<=a[i].r%C){
			b[++cnt]=seg(a[i].l%C,a[i].r%C);
		}else{
			b[++cnt]=seg(0,a[i].r%C);
			b[++cnt]=seg(a[i].l%C,C-1);
		}
	}
	sort(b+1,b+1+cnt);
//	cnt=unique(b+1,b+1+cnt)-b-1;
	ll l=b[1].l,r=b[1].r;
	ll ans=0;
	for(int i=2;i<=cnt;i++){
		if(b[i].l>r+1){
			ans+=(r-l+1);
			l=b[i].l;
			r=b[i].r;
		}else if(b[i].r>r){
			r=b[i].r;
		}
	}
	ans+=r-l+1;
	printf("%I64d\n",ans);
}