CDQ分治的嵌套

CDQ的嵌套

上一篇博客介绍了一下CDQ的入门思想。这里再介绍一下它的进阶，CDQ套CDQ。其实如果对入门思想掌握的透彻，嵌套也是很容易掌握的，思想是一样的。

什么是嵌套

简单地说，有的问题，如果用一重CDQ来分治一个维度后，在合并时，还无法仅借助一层数据结构（如树状数组）来计算左区间对右区间元素的影响。那这时，我们可以选择再用一重CDQ来分治下一维度，达到再降维的效果。

以一道四维偏序的变形问题为例

HDU上的一道题，stars。

题意

三维空间下，有两种操作，1.加入一个点；2.查询当前指定长方体空间内含多少个点。

思路

这题可以类比二维下矩形求和拆成四个矩形前缀求和。长方体求和可以拆成八个长方体前缀求和，根据容斥做一下加减。

由于加入操作和查询操作可能交替进行，就必须考虑操作时间的影响。解决了上一篇博客的若干问题后，不难想到，这一题，我们必须考虑四个维度：时间和三个坐标x,y,z。因此，按时间排序（即读入顺序），对x分治，在根据x进行合并时，我们发现无法简单统计贡献，因为还剩下两维(y,z),也就是说我们需要二维树状数组才能统计，但这样空间开销难以接受。因此，这一重CDQ我们不统计贡献，只做按x排序这件事，但这样时间顺序会乱掉，所以还要标记每个元素的操作时间原本属于左区间还是右区间。拷贝一份处理完的新序列，这样一来，我们再对y进行第二重CDQ分治，在根据y来合并时，此时x的影响已经处理掉了，因此需要再判断的就是时间和操作类型，只有时间属于左区间的改操作元素才可能对时间属于右区间的查操作元素有贡献。这时，剩下的一维z可以离散化后用树状数组维护。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define dd(x) cout<<#x<<" = "<<x<<" "
#define de(x) cout<<#x<<" = "<<x<<"\n"
#define sz(x) int(x.size())
#define All(x) x.begin(),x.end()
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> P;
typedef priority_queue<int> BQ;
typedef priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > SQ;
const int maxn=5e4+10,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
int fwk[maxn<<1];
void upd(int p,int c)
{
	for (int i=p;i<(maxn<<1);i+=i&-i)
		fwk[i]+=c;
}
int qry(int p)
{
	int res=0;
	for (int i=p;i;i-=i&-i)
		res+=fwk[i];
	return res;
}
struct node
{
	int ti,x,y,z,ty,id;
};
node p[maxn<<3],tmp[maxn<<3],tmp2[maxn<<3];
int ans[maxn],id,v[maxn<<1],tot,cnt;
inline void read(int x,int y,int z,int id=0,int ty=0)
{
	p[++cnt].x=x,p[cnt].y=y,p[cnt].z=z,p[cnt].id=id,p[cnt].ty=ty;
}
inline int hs(int x)
{
	return lower_bound(v+1,v+1+tot,x)-v;
}
void cdq2(int l,int r)
{
	if (l>=r)
		return;
	int m=(l+r)>>1;
	cdq2(l,m);
	cdq2(m+1,r);
	int i=l,j=m+1,k=0;
	while (i<=m&&j<=r)
	{
		if (tmp2[i].y==tmp2[j].y? tmp2[i].ty==0 : tmp2[i].y<tmp2[j].y)
		{
			if (tmp2[i].ti==0&&tmp2[i].ty==0)
				upd(hs(tmp2[i].z),1);
			tmp[k++]=tmp2[i++];
		}
		else
		{
			if (tmp2[j].ti&&tmp2[j].ty)
				ans[tmp2[j].id]+=tmp2[j].ty*qry(hs(tmp2[j].z));
			tmp[k++]=tmp2[j++];
		}
	}
	while (j<=r)
	{
		if (tmp2[j].ti&&tmp2[j].ty)
			ans[tmp2[j].id]+=tmp2[j].ty*qry(hs(tmp2[j].z));
		tmp[k++]=tmp2[j++];
	}
	for (int t=l;t<i;++t)
		if (tmp2[t].ti==0&&tmp2[t].ty==0)
			upd(hs(tmp2[t].z),-1);
	while (i<=m)
		tmp[k++]=tmp2[i++];
	for (int i=0;i<k;++i)
		tmp2[l+i]=tmp[i];
}
void cdq1(int l,int r)
{
	if (l>=r)
		return;
	int m=(l+r)>>1;
	cdq1(l,m);
	cdq1(m+1,r);
	int i=l,j=m+1,k=0;
	while (i<=m&&j<=r)
	{
		if (p[i].x==p[j].x? (p[i].ty==0) : (p[i].x<p[j].x))
			p[i].ti=0, tmp[k++]=p[i++];
		else
			p[j].ti=1, tmp[k++]=p[j++];
	}
	while (i<=m)
		p[i].ti=0, tmp[k++]=p[i++];
	while (j<=r)
		p[j].ti=1, tmp[k++]=p[j++];
	for (i=0;i<k;++i)
		p[l+i]=tmp[i];
	for (i=0;i<k;++i)
		tmp2[i]=tmp[i];
	cdq2(0,k-1);
}
int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	while (T--)
	{
		memset(ans,0,sizeof(ans));
		tot=0,cnt=0,id=0;
		int n;
		scanf("%d",&n);
		for (int i=1;i<=n;++i)
		{
			int op,x1,x2,y1,y2,z1,z2;
			scanf("%d",&op);
			if (op==1)
			{
				scanf("%d%d%d",&x1,&y1,&z1);
				read(x1,y1,z1);
			}
			else
			{
				scanf("%d%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&z1,&x2,&y2,&z2);
				x1--,y1--,z1--;
				read(x2,y2,z2,++id,1);
				read(x1,y1,z2,id,1);
				read(x1,y2,z2,id,-1);
				read(x2,y1,z2,id,-1);
				read(x2,y2,z1,id,-1);
				read(x1,y1,z1,id,-1);
				read(x1,y2,z1,id,1);
				read(x2,y1,z1,id,1);
				v[++tot]=z2;
			}
			v[++tot]=z1;
		}
		sort(v+1,v+1+tot);
		cdq1(1,cnt);
		for (int i=1;i<=id;++i)
			printf("%d\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}

总结

简单总结一下，可以cdq分治的这类题，就是用cdq来逐步降维，把高维问题简化为我们熟悉的低维问题。当然数据结构也可以起到降维的效果，但缺点一般是空间开销较大。因此在不强制在线的情况下，CDQ分治不妨作为一个降维工具