CF1009F Dominant Indices——长链剖分优化DP

原题链接

\(EDU\)出一道长链剖分优化\(dp\)裸题？

简化版题意

问你每个点的子树中与它距离为多少的点的数量最多，如果有多解，最小化距离

思路

方法1.

用\(dsu\ on\ tree\)做到\(O(nlogn)\)

方法2.

考虑\(dp\)，也就是设\(f[u][d]\)表示以\(u\)为根的子树中有多少个点与它的距离为\(j\)，则转移如下：

\(f[u][0]=1\)，\(f[u][d]+=f[v][d-1]\)

发现可以直接通过把数组右移直接把一个儿子的信息继承过来，又因为转移是跟深度相关的，那么我们直接把长儿子的信息继承过来就好了，然后暴力合并短儿子的信息

这样的时间复杂度都是\(O(n)\)的，怎么证明？直接继承长儿子的信息通过指针可以做到\(O(1)\)，然后每条长链只会在顶端被合并，而长链的长度和是\(O(n)\)，于是总复杂度就\(O(n)\)啦

空间复杂度的证明同理

代码如下

#include <algorithm>
#include  <iostream>
#include   <cstdlib>
#include   <cstring>
#include    <cstdio>
#include    <string>
#include    <vector>
#include     <cmath>
#include     <ctime>
#include     <queue>
#include       <map>
#include       <set>

using namespace std;

#define IINF 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL
#define ull unsigned long long
#define pii pair<int, int>
#define uint unsigned int
#define mii map<int, int>
#define lbd lower_bound
#define ubd upper_bound
#define INF 0x3f3f3f3f
#define vi vector<int>
#define ll long long
#define mp make_pair
#define pb push_back

#define N 1000000

struct Edge {
  int next, to;
}e[2*N+5];

int n;
int head[N+5], eid, len[N+5], longson[N+5];
int memory[N+5], ans[N+5];

void addEdge(int from, int to) {
  e[++eid].next = head[from];
  e[eid].to = to;
  head[from] = eid;
}

void dfs1(int u, int fa) {
  for(int i = head[u], v; i; i = e[i].next) {
    v = e[i].to;
    if(v == fa) continue;
    dfs1(v, u);
    if(len[longson[u]] < len[v]) longson[u] = v;
  }
  len[u] = len[longson[u]]+1;
}

void dp(int u, int fa, int *f) {
  ans[u] = 0;
  f[0] = 1;
  int *g;
  if(longson[u]) {
    g = f+1;
    dp(longson[u], u, g);
    if(g[ans[longson[u]]] > f[ans[u]] || (g[ans[longson[u]]] == f[ans[u]] && ans[longson[u]] < ans[u]))
      ans[u] = ans[longson[u]]+1;
  }
  g = f+len[u];
  for(int i = head[u], v; i; i = e[i].next) {
    v = e[i].to;
    if(v == fa || v == longson[u]) continue;
    dp(v, u, g);
    for(int j = 1; j <= len[v]; ++j) {
      f[j] += g[j-1];
      if(f[j] > f[ans[u]] || (f[j] == f[ans[u]] && j < ans[u]))
        ans[u] = j;
    }
  }
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for(int i = 1, x, y; i < n; ++i) {
    scanf("%d%d", &x, &y);
    addEdge(x, y), addEdge(y, x);
  }
  dfs1(1, 0);
  dp(1, 0, memory);
  for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d\n", ans[i]);
  return 0;
}