Atcoder Rating System

来翻译一下官方文档，但是建议看英文原文，本文可能会出现一些错误，只是为了方便自己查阅用的。

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对于你的每一场rated比赛，会有一个Performance值\(X_i\)，你的rating是\(X_i-f(i)\)的加权平均，其中\(f(1)=1200\)而\(f(i)\)单调递减。也就是说，如果你的Performance值稳定在\(X\)上，你的Rating会从\(X-1200\)逐渐上升为\(X\)。

那如何计算Performance呢？对于每个选手，有一个值叫做\(APerf\)（Average Performance），设\(Perf_1,Perf_2,\ldots,Perf_k\)是你的每一场Perf（时间从后往前），那么
\[
APerf=\frac{\sum_{i=1}^kPerf_i\times 0.9^i}{\sum_{i=1}^k0.9^i}
\]
那对于萌新来说怎么办呢？就要设一个默认值\(Center\)，对于AGC，ARC，ABC这个值分别为\(1200,1000,800\).

设这场比赛rated人数为\(n\)，它们的\(APerf\)值为\(APerf_i\)，那么排名为\(r\)的人的Perf值为\(X\)，\(X\)定义为
\[
\sum_{i=1}^n\frac{1}{1+6.0^{(X-APerf_i)/400.0}}=r-0.5
\]
这个方程的解，那对于并列的人来说怎么办呢，\(r\)就取它们rank的平均值。

对于第一场比赛是需要特判的（为了防止第一场比赛的影响太小）
\[
Perf=(Perf-Center)*1.5+Center
\]
还有你的\(RPerf\)值（Real Performance）
\[
RPerf=\min(Perf,RATEDBOUND+400)
\]

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最后的问题是如何计算Rating，设
\[
F(n)=\frac{\sqrt{\sum_{i=1}^n0.81^i}}{\sum_{i=1}^n0.9^i}
\]

\[
f(n)=\frac{F(n)-F(\infty)}{F(1)-F(\infty)}\times 1200
\]

设
\[
g(X)=2^{\frac{X}{800}}
\]
则
\[
Rating=g^{-1}(\frac{\sum_{i=1}^kg(RPerf_i-f(i))\times 0.9^i}{\sum_{i=1}^k0.9^i})
\]
为什么\(g(X)\)要设成一个指数函数呢？因为当你被降智的时候，你有可能只会做1题，也有可能做4题，可能对于你来说差别不大。但是可能做出5题和做出6题的差别就很大了。而设成指数函数就可以让你在发挥超常的时候高兴很久，在被降智的时候也只用伤心一会儿。（逃