[BestCoder Round#26] Apple 【组合数学】

题目链接：HDOJ - 5160

题目分析

第一眼看上去，要求统计所有不同排列对答案的贡献。嗯...完全没有想法。

但是，如果我们对每个数字单独考虑，计算这个数字在总答案中的贡献，就容易多了。

对于一个数字 ai ，有 ni 个 。比它大的数字有 p 个，比它小的数字有 q 个。所有的数字一共有 N 个。

首先，比它小的数字对它不会造成影响，所以我们只要考虑它和比它大的数字。那么我们就在 N 个位置中，选 (ni + p) 个位置，给它和比它大的数字。

然后比它大的数字有 x1 种排列，比它小的数字有 x2 种排列。这个如何来求呢？这是多重集排列。

　　多重集排列，对于一个多重集 A={a1*n1, a2*n2, a3*n3, ak*nk} 。排列数为 Sum(n1...nk)!/(n1!n2!n3!...nk!)

那么 ai 有多少个会被记入答案呢？我们枚举每种情况：有 ni 个记入答案, (ni-1) 个, (ni-2)个 .... 1 个。

如果有 k 个 ai 无法记入答案，说明有比它们大的数在他们前面，也就是说他们被插到了 p 个比他们大的数后面或之间。这 p 个数后面一共有 p 个位置，每个位置都可以插入任意个 ai ，这种情况数为 C(k + p - 1, k) （相当于向 p 个箱子里分配 k 个球，隔板法）。

那么 ai 对答案的贡献就为 C(N, ni + p) * x1 * x2 * sigma((ni - k) * C(k + p - 1, k)) (0 <= k < ni) * ai 。

Warning!

出现的错误： % 的优先级比 + 高！如果这样 Ans = Ans + temp % Mod 。Ans 是会爆掉的！！应该是 Ans = (Ans + Temp) % Mod 。

昨天晚上因为这个错误debug了3hours!!!!!!

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MaxN = 100000 + 15; 

typedef long long LL;

const LL Mod = 1000000007ll;

int T, n, Top;
LL Ans;
LL A[MaxN], f[MaxN], g[MaxN], Sum[MaxN], NSum[MaxN], Fac[MaxN], NY_Fac[MaxN];

struct ES_Num
{
    LL Cnt, Num;
    ES_Num() {}
    ES_Num(LL a, LL b) {
        Num = a; Cnt = b;
    }
} ES[MaxN];

LL Pow(LL a, LL b) {
    LL f, ret;
    f = a; ret = 1ll;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ret *= f;
            ret %= Mod;
        }
        b >>= 1;
        f *= f;
        f %= Mod;
    }
    return ret;
}

void Init() {
    int Max_Num = 100000 + 5;
    Fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= Max_Num; ++i)
        Fac[i] = Fac[i - 1] * i % Mod;
    for (int i = 0; i <= Max_Num; ++i)
        NY_Fac[i] = Pow(Fac[i], Mod - 2);
}

LL C(LL a, LL b) {
    if (b == 0) return 1;
    if (a < b) return 0;
    LL ret;
    ret = Fac[a];
    ret = ret * NY_Fac[a - b] % Mod;
    ret = ret * NY_Fac[b] % Mod;
    return ret;
}

int main()
{
    Init();
    scanf("%d", &T);
    for (int Case = 1; Case <= T; ++Case) {
        scanf("%d", &n);
        Ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &A[i]);
        sort(A + 1, A + n + 1);
        Top = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (i != 1 && A[i] == A[i - 1]) ++(ES[Top].Cnt);
            else ES[++Top] = ES_Num((LL)A[i], 1);
        }
        Sum[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= Top; ++i)
            Sum[i] = Sum[i - 1] + ES[i].Cnt;
        NSum[Top + 1] = 0;
        for (int i = Top; i >= 1; --i)
            NSum[i] = NSum[i + 1] + ES[i].Cnt;
        LL t = 1;
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= Top; ++i) {
            t = t * Fac[Sum[i]] % Mod * NY_Fac[ES[i].Cnt] % Mod;
            f[i] = t;
            t = t * NY_Fac[Sum[i]] % Mod;
        }
        t = 1;
        g[Top + 1] = 1;
        for (int i = Top; i >= 1; --i) {
            t = t * Fac[NSum[i]] % Mod * NY_Fac[ES[i].Cnt] % Mod;
            g[i] = t;
            t = t * NY_Fac[NSum[i]] % Mod;
        }
        LL x, y;
        for (int i = 1; i <= Top; ++i) {
            x = 0;
            for (int j = 0; j < ES[i].Cnt; ++j) {
                y = (ES[i].Cnt - j) * C(NSum[i + 1] + j - 1, j) % Mod;
                x = (x + y) % Mod;
            }
            x = x * ES[i].Num % Mod;
            x = x * f[i - 1] % Mod;
            x = x * g[i + 1] % Mod;
            x = x * C(NSum[1], NSum[i]) % Mod;
            Ans = (Ans + x) % Mod;
        }
        printf("Case #%d: %d\n", Case, (int)Ans);
    }
    return 0;
}