【LG3321】[SDOI2015]序列统计

题面

题解

前置芝士：原根

我们先看一下对于一个数$p$，它的原根$g$有什么性质(好像就是定义)：

$g^0\%p,g^1\%p,g^2\%p...g^{p-2}\%p$恰好等于$[0,p - 1]$中所有数。

那么怎么求呢？

对$\varphi(p)$分解质因数，得到$\varphi(p)=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_n^{a_n}$

从$2$~$(p-1)$枚举$g$，如果满足$g$对于$\forall p_i$，有$$g^{\frac {\varphi(p)}{p_i}}\neq1;mod;p$$

则该数是个原根,$break$，否则$continue$

关于此题：

有了上面的铺垫，我们想一想这题怎么做。

设$f[i][j]$表示选了$i$个数，乘积$\%m$为$j$的方案数，

则有转移：

\[f[2*i][c]=\sum_{a*b\%m=c}f[i][a]*f[i][b]
\]

这时候我们复杂度是$O(m^2\log n)$的，跑不过去，而转移次数已经无法优化了，想办法优化转移。

观察这个转移，如果它的判断条件为$(a+b)\%m=c$，我们不就可以卷起来了吗？

想想什么能把乘法换成加法？对数！！！

但是因为是模意义下的对数，所以我们取个原根就行了。

$\therefore$ 设$C=\log_gc\%m,A=\log_ga\%m,B=\log_gb\%m$。

则有转移：

\[f[2*i][C]=\sum_{(A+B)\%\varphi (m)=c}f[i][A]*f[i][B]
\]

那么就可以用$NTT$搞了，

注意最后要$f[i][j]+=f[i][j+\varphi (m)]$，因为你每次卷起来后$\varphi (m)$~$(2\varphi (m)-2)$项都是要算贡献的。

注意：集合中$\%m=0$的数也要判一下。

代码

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <cmath>

#include <algorithm>

#include <map>

using namespace std;

inline int gi() {

    register int data = 0, w = 1;

    register char ch = 0;

    while (!isdigit(ch) && ch != '-') ch = getchar();

    if (ch == '-') w = -1, ch = getchar();

    while (isdigit(ch)) data = 10 * data + ch - '0', ch = getchar();

    return w * data;

}

int fpow(int x, int y, int mod) {

    int res = 1;

    while (y) {

        if (y & 1) res = 1ll * res * x % mod;

        x = 1ll * x * x % mod;

        y >>= 1;

    }

    return res;

}

const int Mod = 1004535809, G = 3, iG = fpow(G, Mod - 2, Mod);

int GetRoot(int x) {

    int fact[10000], tot = 0;

    int phi = x - 1;

    for (int i = 2; i * i <= phi; i++) {

        if (phi % i == 0) {

            fact[++tot] = i;

            while (phi % i == 0) phi /= i;

        }

    }

    if (phi > 1) fact[++tot] = phi;

    phi = x - 1;

    for (int i = 2; i <= phi; i++) {

        bool flg = 1;

        for (int j = 1; j <= tot && flg; j++)

            if (fpow(i, phi / fact[j], x) == 1) flg = 0;

        if (flg) return i;

    }

    return -1;

}

const int MAX_M = 2.4e4 + 5;

int Limit, rev[MAX_M];

void NTT(int *p, int op) {

    for (int i = 0; i < Limit; i++) if (i < rev[i]) swap(p[i], p[rev[i]]);

    for (int i = 1; i < Limit; i <<= 1) {

        int rot = fpow(op == 1 ? G : iG, (Mod - 1) / (i << 1), Mod);

        for (int j = 0; j < Limit; j += (i << 1)) {

            int w = 1;

            for (int k = 0; k < i; k++, w = 1ll * w * rot % Mod) {

                int x = p[j + k], y = 1ll * w * p[i + k + j] % Mod;

                p[j + k] = (x + y) % Mod, p[i + j + k] = (x - y + Mod) % Mod;

            }

        }

    }

    if (op == -1) {

        int inv = fpow(Limit, Mod - 2, Mod);

        for (int i = 0; i < Limit; i++) p[i] = 1ll * p[i] * inv % Mod;

    }

}

map<int, int> mp;

int N, M, X, S, F[MAX_M], H[MAX_M];

void mul(int *A, int *B, int *C) {

    static int res[MAX_M], a[MAX_M], b[MAX_M];

    for (int i = 0; i < Limit; i++) a[i] = A[i], b[i] = B[i];

    NTT(a, 1), NTT(b, 1);

    for (int i = 0; i < Limit; i++) a[i] = 1ll * a[i] * b[i] % Mod;

    NTT(a, -1);

    for (int i = 0; i < M - 1; i++) res[i] = (a[i] + a[i + M - 1]) % Mod;

    for (int i = 0; i < M - 1; i++) C[i] = res[i];

}

int main () {

    N = gi(), M = gi(), X = gi(), S = gi();

    int g = GetRoot(M); for (int i = 0; i < M - 1; i++) mp[fpow(g, i, M)] = i;

    for (int i = 1, x; i <= S; i++) {

        x = gi() % M;

        if (x) F[mp[x % M]]++;

    }

    H[mp[1]] = 1;

    int p = 0;

    for (Limit = 1; Limit <= 2 * M; Limit <<= 1, ++p) ;

    for (int i = 0; i < Limit; i++) rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (p - 1));

    while (N) {

        if (N & 1) mul(H, F, H);

        mul(F, F, F);

        N >>= 1;

    }

    printf("%d\n", H[mp[X]]);

    return 0;

}