UOJ #122 【NOI2013】 树的计数

题目链接：树的计数

　　这道题好神啊……正好有人讲了这道题，那么我就写掉吧……

　　首先，为了方便考虑，我们可以把节点重标号，使得\(bfs\)序变成\(1,2,3,\dots,n\)，那么显然树的深度就是\(dep_n\)。

　　然后，我们来考虑一下\(dfs\)序和\(bfs\)序的性质。设\(dfs\)序中的第\(i\)个点为\(d_i\)，那么显然有\(dep_{d_{i+1}} \le dep_{d_i}+1\)。由于我们已经进行了重标号，那么通过\(bfs\)序，我们可以得到\(dep_i \le dep_{i+1} \le dep_i+1\)。令\(pos_i\)表示节点\(i\)在\(dfs\)序中出现的位置，那么当\(dep_i=dep_{i+1}\)时，我们可以得到\(pos_i<pos_{i+1}\)。因为我们是按照\(bfs\)序编号的，所以对于同一深度的点，越早被\(dfs\)到编号就越小。

　　所以，我们建立一个数组\(s_i\)，\(s_i=1\)表示\(dep_{i+1}=dep_i+1\)，\(s_i=0\)表示\(dep_{i+1}=dep_i\)，那么显然\(s_1=1\)。并且当\(pos_i>pos_{i+1}\)时，我们可以推出\(s_i=1\)。因为上一段中提到了，如果\(dep_i=dep_{i+1}\)，则有\(pos_i<pos_{i+1}\)。

　　然后，我们接着考虑\(dfs\)序的限制。如果\(d_i<d_{i+1}\)，由于\(dep_{d_{i+1}}-dep_{d_i} \le 1\)，我们可以得到一个式子：

\[dep_{d_{i+1}}-dep_{d_i}=\sum_{j=d_i}^{d_{i+1}-1}s_j\]

　　于是我们可以得到一堆的约束条件。如果等号右边已经是\(1\)了，那么这段区间的未被确定的\(s_j\)就都是\(0\)了。在这种情况下，若\(d_i \neq 1\)，则\(d_i+1<d_{i+1}\)。所以在另外一种情况下一定有\(d_i+1=d_{i+1}\)，也就意味着这个条件没用了。所以剩下的未确定的变量都有可能为\(1\)，而这些变量的取值和其他变量的取值无关，取到\(1\)的概率是\(0.5\)，对\(dep_n\)贡献为\(0.5\)。

　　最后，让我们来回顾一下算法流程：

　　1.确定所有的\(s_i\)必定等于\(1\)的位置

　　2.找出所有的限制条件，限制某些位置必须为\(0\)

　　3.剩下的未被限制的位置对答案贡献为\(0.5\)。

　　于是这道题就愉快地解决辣！(虽然我可能还是没有讲清楚)

　　参考博客：戳这里

　　下面贴代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define maxn 200010

using namespace std;
typedef long long llg;

int d[maxn],n,a[maxn],s[maxn];
double ans;

int getint(){
	int w=0;bool q=0;
	char c=getchar();
	while((c>'9'||c<'0')&&c!='-') c=getchar();
	if(c=='-') c=getchar(),q=1;
	while(c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar();
	return q?-w:w;
}

int main(){
	File("a");
	n=getint(); ans=1; s[1]++,s[2]--;
	for(int i=1;i<=n;i++) a[d[i]=getint()]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) d[a[getint()]]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) a[d[i]]=i;
	for(int i=2;i<=n;i++) if(a[i]<a[i-1]) s[i-1]++,s[i]--,ans++;
	for(int i=2;i<=n;i++) if(d[i-1]+1<d[i]) s[d[i-1]]++,s[d[i]]--;
	for(int i=1,j=0;i<n;i++) j+=s[i],ans+=((bool)(!j))*0.5;
	printf("%.3lf",ans+1);
	return 0;
}

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