Linear Algebra - Matrix

1. 矩阵

定义：有 \(m*n\) 个数 \(a_{ij}(i=1,2,\cdots,m; j=1,2,\cdots,n)\) 排成的 \(m\) 行 \(n\) 列的数表
\[
\begin{Bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{Bmatrix}
\]

特殊矩阵

• n阶方阵
• 行矩阵、列矩阵
• 对角矩阵
• 单位矩阵
• 零矩阵

注意：不同阶数的零矩阵不相等。

同型矩阵和矩阵相等

同型矩阵的定义：两个矩阵的行数相等，列数相等。
矩阵相等的定义：两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相等。

2. 矩阵的运算

矩阵的加法和减法

运算规律：

• \(A + B = B + A\)（交换律）
• \(A + (B + C) = (A + B) + C\)（结合律）

数与矩阵相乘

运算规律：

• \((\lambda \mu)A = \lambda(\mu A)\)（结合律）
• \((\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A\)（分配律）
• \(\lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B\)（分配律）

矩阵与矩阵相乘

仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。

运算规律：

• \((AB)C = A(BC)\)（结合律）
• \(\lambda(AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B)\)（结合律）
• \(A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA\)（分配律）
• \(AE = EA = A\)
• 若 \(A\) 为方阵，\(A^mA^k = A^{m+k}, (A^m)^k = A^{mk}\)

• 无交换律：$AB \not= BA$

• 无消去律：若 $AM = AN$, 不一定有 $M \not= N$

• 若 $AB = 0$, 不一定有 $A = 0, B = 0$

矩阵的转置

定义：把矩阵的行换成同序数的列。

运算规律：

• \((A^T)^T = A\)
• \((A + B)^T = A^T + B^T\)
• \((\lambda A)^T = \lambda A^T\)
• \((AB)^T = B^TA^T\)

对称阵：\(A^T = A\)