【UOJ348】【WC2018】州区划分 状压DP FWT

题目大意

　　给定一个\(n\)个点的无向图，对于每种 \(n\) 个点的划分\(\{S_1,S_2,\ldots,S_k\}\)，定义它是合法的，当且仅当每个点都在其中的一个集合中且对于任何的\(i\in[1,k]\)，点集\(S_i\)非空，且导出子图不存在欧拉回路。

　　给定数组\(w_i\)，求对于所有合法的划分\(\{s_1,s_2,\ldots,s_k\}\)，下面的式子之和

\[{(\prod_{i=1}^k\frac{\sum_{x\in S_i}w_x}{\sum_{j=1}^i\sum_{x\in S_j}w_x})}^p
\]

　　\(n\leq 21\)

题解

　　先用\(O(n^22^n)\)判断每个点集是否合法，并计算\(g(S)={(\sum_{x\in S}w_x)}^p\)。如果\(S\)不合法。那么\(g(S)=0\)

　　很容易想到一个\(O(3^n)\)的做法。

　　设\(f(S)\)为当前选择的集合为\(S\)的答案

\[f(S)=\frac{\sum_{T\subseteq S}g(T) f(S\setminus T)}{g(S)}
\]

　　可以发现这是一个子集卷积。

　　一种可行的做法是把子集卷积转化为子集或卷积。

　　定义\(\widetilde{f}\)是\(f\)的集合占位幂级数，当且仅当对于所有的\(S\)满足\(\widetilde{f}(S)\)是一个\(|S|\)次多项式，且\([x^{|S|}]\widetilde{f}(S)=f(S)\)

　　可以发现，若\(p(S)=\widetilde f(S)\cdot \widetilde g(S)\)，则\(p\)是\(f\times g\)的占位多项式。

　　所以我们可以在\(O(n^22^n)\)内计算子集卷积了。

　　回到这道题，我们假设每个城市可以出现在多个州里，记\(h_{i,S}\)为每个州的城市个数之和为\(i\)，每个州的城市的并集为\(S\)的方案数。那么\(F(S)=\sum_{i=1}^nh_{i,S}x^i\)就是\(f(S)\)的集合占位幂级数。

　　所以\(f(S)=h_{|S|,S}\)，状态转移方程是

\[h_{i,S}=\sum_{j=1}^i\sum_{|T|=j}\sum_{A}[A|T=S]h_{i-j,A}\frac{g(T)}{g(S)}
\]

　　记\(G(i)=\sum_{|S|=i}g(S)x^S\)

　　我们先枚举\(i\)，再枚举\(j\)，然后计算\(h_i=h_{i-j}\times G(j)\)

　　这里我们可以全程用莫比乌斯变换后的值，卷积一次就是\(O(2^n)\)的

　　还有，我们这里要除以\(g(S)\)，可以在做完一层（\(h_i\)）之后变换回去，除以\(g(S)\)，再变换回来。

　　这样时间复杂度就是\(O(n^22^n)\)的了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];
    sprintf(str,"%s.in",s);
    freopen(str,"r",stdin);
    sprintf(str,"%s.out",s);
    freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
const ll p=998244353;
ll fp(ll a,ll b)
{
	ll s=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
		if(b&1)
			s=s*a%p;
	return s;
}
int lx[100010];
int ly[100010];
int n,m,o;
void fwt(int *a)
{
	int i,j;
	for(j=1;j<1<<n;j<<=1)
		for(i=0;i<1<<n;i++)
			if(i&j)
				a[i]=(a[i]+a[i^j])%p;
}
void ifwt(int *a)
{
	int i,j;
	for(j=1;j<1<<n;j<<=1)
		for(i=0;i<1<<n;i++)
			if(i&j)
				a[i]=(a[i]-a[i^j])%p;
}
int f[22][1<<21];
int g[22][1<<21];
ll inv[100010];
ll fw[1<<21];
ll fwi[1<<21];
int w[30];
int fa[100010];
int num[1<<21];
int find(int x)
{
	return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int c[1<<21];
int d[100010];
int main()
{
	open("walk");
	int i,j,k;
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(i=2;i<=10000;i++)
		inv[i]=-p/i*inv[p%i]%p;
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&o);
	for(i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d",&lx[i],&ly[i]);
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&w[i]);
	int all=(1<<n)-1;
	for(i=1;i<=all;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			d[j]=0;
			fa[j]=j;
		}
		for(j=1;j<=m;j++)
			if(((i>>(lx[j]-1))&1)&&((i>>(ly[j]-1))&1))
			{
				d[lx[j]]^=1;
				d[ly[j]]^=1;
				int fx=find(lx[j]);
				int fy=find(ly[j]);
				if(fx!=fy)
					fa[fx]=fy;
			}
		fw[i]=0;
		for(j=1;j<=n;j++)
			if((i>>(j-1))&1)
				fw[i]+=w[j];
		fwi[i]=inv[fw[i]];
		fw[i]=fp(fw[i],o);
		fwi[i]=fp(fwi[i],o);
		int cnt=0;
		c[i]=0;
		for(j=1;j<=n;j++)
			if((i>>(j-1))&1)
			{
				num[i]++;
				if(fa[j]==j)
				{
					cnt++;
					if(cnt>=2)
						c[i]=1;
				}
				if(d[j])
					c[i]=1;
			}
		fw[i]*=c[i];
		g[num[i]][i]=fw[i];
	}
	f[0][0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
		fwt(g[i]);
	fwt(f[0]);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=i;j++)
			for(k=0;k<=all;k++)
				f[i][k]=(f[i][k]+(ll)f[i-j][k]*g[j][k])%p;
		ifwt(f[i]);
		for(j=0;j<=all;j++)
			f[i][j]=f[i][j]*fwi[j]%p;
		fwt(f[i]);
	}
	ifwt(f[n]);
	ll ans=f[n][all];
	ans=(ans+p)%p;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}