「NowCoder Contest 295」H. Playing games

还是见的题太少了

「NowCoder Contest 295」H. Playing games

题意：选出尽量多的数使得异或和为$ 0$

---

$ Solution:$

问题等价于选出尽量少的数使得异或和为全集

根据线性基思想可以推得整个集合的异或集合可以被不超过$ bitcount$个数的异或集合表示

因此答案也不超过$ bitcount$

对于原集合我们做若干次$ FWT$

每次把当前异或集合卷上初始集合

复杂度$ O(n \ log^2 \ n)$

足以通过本题

但是还不够

我们发现我们只是想知道$ FWT$数组中某一位上的值

设$ f’$是数组$ f$的$FWT$数组

有$ f_S=\frac{1}{2^n} \sum\limits f'_T(-1)^{|S\cap T|}$

这样我们只需要初始对原数组$ FWT$一次

期间一直用点值表达式进行计算

然后单词$ O(n)$验证即可

时间复杂度:$ O(n \ log \ n)$

---

$ my \ code$

#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define p 998244353
#define rt register int
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
    ll x = ; char zf = ; char ch = getchar();
    while (ch != '-' && !isdigit(ch)) ch = getchar();
    if (ch == '-') zf = -, ch = getchar();
    while (isdigit(ch)) x = x *  + ch - '', ch = getchar(); return x * zf;
}
void write(ll y){if(y<)putchar('-'),y=-y;if(y>)write(y/);putchar(y%+);}
void writeln(const ll y){write(y);putchar('\n');}
int i,j,k,m,n,x,y,z,cnt,invn;
int ksm(int x,int y){
    int ans=;
    for(rt i=y;i;i>>=,x=1ll*x*x%p)if(i&)ans=1ll*x*ans%p;
    return ans;
}
void FWT(int n,int *A,int fla){
    for(rt i=;i<n;i<<=)
    for(rt j=;j<n;j+=i<<)
    for(rt k=;k<i;k++){
        const int x=A[j+k],y=A[i+j+k];
        A[j+k]=(x+y)%p,A[i+j+k]=(x-y)%p;
    }
    if(fla==-)for(rt i=;i<n;i++)A[i]=1ll*A[i]*invn%p;
}
int a[],b[];
int main(){
    n=read();int s=;
    for(rt i=;i<=n;i++){
        x=read();s^=x;
        a[x]=;
    }
    int lim=;invn=ksm(lim,p-);
    a[]=;FWT(lim,a,-);
    for(rt i=;i<lim;i++)b[i]=;
    for(rt i=;i<=;i++){
        ll ans=;
        for(rt j=;j<lim;j++)if(__builtin_popcount(j&s)&)ans+=b[j];else ans-=b[j];
        if(ans%p){
            cout<<n-i;
            break;
        }
        for(rt j=;j<lim;j++)b[j]=1ll*a[j]*b[j]%p;
    }
    return ;
}