Border Theory 学习笔记

Border Theory

border 定义：在同一个串中既是前缀又是后缀。

最长border：最长的 border

性质1：

一个串 border 的 border 还是它的 border。画图自己推，很简单的。

border 求法 ：

首先，border 的左端点显然会随着 i 向右枚举，向左移动。

看下一个字符是否能匹配，匹配不上就跳 border 的 border。

nxt[1] = 0; // nxt 是 最长border对应前缀长度
for(int i = 2, j = 0; i <= n; ++ i) {
    while(j && s[j + 1] != s[i]) j = nxt[j];
    if(s[j + 1] == s[i]) ++ j;
    nxt[i] = j;
}

KMP 的字符串匹配也差不多就是这么搞的。

失配树

把一个串对应的点连向其最长 border 对应的前缀节点，构成的树。按着根链跳就可以找到所有 border。

作用1：可以找到两个串的公共 border。（用 LCA 求）

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定义周期 ：如果 \(\forall i\le |s|-T,s_i=s_{i+T}\)，则称 \(T\) 为 \(s\) 的周期。

性质1：

如果 b 是 s 的一个 border，则 \(p = |s| - |b|\) 是 s 的一个周期。

证明显然。。。

性质2：

如果 p 和 q 是 s 的周期，且 \(p + q \le |s|\) ，那么 \(\gcd(p,q)\) 也是 s 的周期。

证明：画出图后很好感性理解。

令 \(p > q\)

当 \(i \le q\)，\(s_i = s_{i+p} = s_{i+p - q}\)

当 $i < |s| - p + q $ && $ i > q\(，\)s_i = s_{i - q} = s_{i-q+p}$。

根据辗转相减可得此结论。

推论：若 \(p,q\) 均为 \(s\) 的周期，且 \(p+q-gcd(p,q)\leq|s|\)，则 \(gcd(p,q)\) 也是 \(s\) 的周期。

证明不会 qwq

定理1：

s 所有长度大于 \(\lfloor\frac{|s|}2\rfloor\) 的 border 与 |s| 构成等差数列。

设最长 border 长为 b，故一定有周期 \(p = |S| - b\) ，故一定有周期 \(2*p,3*p...k*p,k\in N\) 。故存在一些 border 长度为等差数列。

假设还有一个 border 长度大于 \(|s| / 2\) 并且不是等差数列，设其对应的周期为 q，那么 \(\gcd(p,q)\) 也是周期，那么 \(s - gcd\) 也是 border，然后就矛盾了。GG

推论：

s 所有 border 可以分类分成至多 log 个等差数列。

长度大于 s / 2 的是一类，然后长度在 (s / 4，s / 2) 在一类，这类 border 可以当作是这个区间里最长的 border 的 border 。。。所以有最多 log 类。

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做题

[NOI2014] 动物园

对于所有前缀 s ，求长度小于 \(s / 2\) 的最长 border。

就是找到最后一个长度大于 \(s / 2\) 的那个border 后再跳一次最长 border。

根据定理1 : s 所有长度大于 \(\lfloor\frac{|s|}2\rfloor\) 的 border 与 |s| 构成等差数列，就可以很轻松的找到 最后一个长度大于 \(s / 2\) 的那个border 。

核心代码：int p = i - nxt[i], k = nxt[i - ((i - 1) / 2) / p * p];

P1393 Mivik 的标题

随机生成一个串，每个字符是 [1, m] ，求出现目标串的概率。

转计数题，求出现目标串方案数。

设 \(f_i\) 表示在第 i 个位置第一次匹配上目标串的方案数。

考虑转移，钦定 i 位置匹配了 s ，前面后面都随便选，减掉在前面匹配上的。

匹配在 [s，i - s] 的位置 ： \(\sum f_j m^{i - s - j + 1}\) ，这个用秦九昭跑一跑就行了。很好搞。

匹配在 [i - s+ 1, s-1] 的位置，观察发现肯定只有 s 的 border 才匹配的上， s 的 border 可以分为 log 个等差数列，对于每个等差数列：\(\sum_k f_{i-kp}\)，这个可以对每一个 p 维护这个世子的前缀和之类的，就行了。