数学: R连续性+Q稠密性与数系的完善历史

R实数集合最重要的基本性质: 连续性(完备性: Q有理数+IR.无理数即无限不循环小数)

数系的扩充历史

自然数集合N: 关于 +加法 与 *乘法 运算是封闭的，但是 N 关于 -减法 运算并不封闭。

整数集合Z: 关于 +加法、-减法 和 *乘法 都封闭了，但是 Z 关于 /除法 运算不封闭的。

整数集合 Z 具有“离散性”。

有理数集合Q: {x|x=p/q, p∈Z, q∈N, q > 0}。关于 +加法、-减法、*乘法 与 *除法 四则运算都是封闭的, 但是Q有理数集合对于开方运算是不封闭的。有理数集合Q具有“稠密性”(不完备或不连续)。

因此有在Q有理数集合之上以Dedkind Split(不空不漏不乱不限)构造出有完备性的R实数集。

虽然有理数集合是稠密的，但在坐标轴上留有“空隙”。例如用表示边长为1的正方形的对角线的长度c，这个c就无法用有理数Q来表示。换言之，有理数集合对于开方运算是不封闭的。因此有必要将有理数集合加以扩充。

Q有理数 能表示成 有限小数 或 无限循环小数，所以扩充 Q有理数集合 最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理数)吸纳进来。全体有理数 和 全体无理数 所构成的集合称为 实数集R ： R={ x | x 是 Q有理数 或 IR.无理数}

实数集R ： R={ x | x 是 Q有理数 或 IR.无理数}, 又被称为 实数连续统。

全体无理数所对应的点(称为无理点) 填补了有理点在坐标轴上的所有“空隙”，

即实数铺满了整个数轴。 实数集合的这一性质称为实数系R 的“连续性”。R 因此又被称为实数连续统。

R 的连续性，从几何角度理解，就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”，但从分析角度阐述，则有多种相互等价的表述方式。“确界存在定理”就是实数系R 连续性的表述之一。

最大数与最小数 对于 数集(有 Order序 运算的集合)

设集合S 是一个非空数集：

if ∃ ξ ∈ S ，s.t. ∀ x ∈S, x ≤ξ, then ξ = max S ;

if ∃ η ∈ S ，s.t. ∀ x ∈S, x ≥η, then η = min S .

当数集S 是非空有限集时，max S 是这有限个数的最大者，min S 是这有限个数的最小者。

但是当S 是非空无限集时，S可能不具有最大数及最小数。

上确界 与 下确界 对于 非空数集 与 R实数集合做参考系

设 S是一个非空数集，

if ∃ M ∈ R, s.t. ∀ x∈S, x ≤ M; then 称 M 是S 的一个上界；

if ∃ m ∈ R, s.t. ∀ x∈S, x ≥ m; then 称 m 是S 的一个下界。

当 数集S 既有上界，又有下界时，称S 为有界集⇔ ∃ X > 0, s.t. ∀ x∈S, then |x| ≤ X.

设数集S 有上界，记 U 为 S 的上界全体所组成的集合，则显然U不可能有最大数，下面将证明：U一定有最小数。

设U的最小数为β ，就称β 为数集S 的上确界，即最小上界,记为 β =sup S 。

上确界β 满足下述两个性质：

1. β 是数集S 的上界：∀ x∈S, x ≤ β;
   
   2.任何小于β 的数不是数集S 的上界：∀ε > 0, ∃ x∈S, s.t. x > β - ε 。

设数集S 有下界，记 L 为 S 的下界全体所组成的集合，则显然L不可能有最小数，同样可以证明：L一定有最大数。

设L的最大数为α ，就称α 为数集S 的下确界, 即最大下界, 记为 α = inf S 。

下确界α满足下述两个性质：

1. α是数集S 的下界: ∀ x∈S，有 x ≥ α ；
2. 任何大于α的数不是数集S 的下界: ∀ ε > 0, ∃ x∈S, x < α + ε

定理2.1.1(确界存在定理：实数系连续性定理)

非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

证 任何一个实数x 可表示成 x =［x］+( x )，

其中［x］表示 x的整数部分，( x )表示 x的非负小数部分。

将( x )表示成无限小数的形式：

( x ) = 0.A1A2...An...,

其中A1, A2, An 的任何一个都是十进制数字集合[0,9]的一个, 若( x )是有限小数, 则在后面接上无限个0。

注 无限小数 0.A1A2...An000…(An ≠ 0 )与无限小数 0.A1A2…(An-1)999…是相等的，为了保持表示的唯一性，约定 ( x )的无限小数的表示不出现后者。这样，任何一个实数集合S

就可以由一个确定的无限小数的集合来表示：

｛A0 + 0.A1A2...An...｜A0 =［x ], 0.A1A2...An... = ( x ), x ∈S ｝。

设数集S 有上界，则可令S 元素的整数部分的最大者为A0，

并记 S0 = { x | x∈S, [ x ] = A0 } 。 S0不是空集,

再考察数集S0中元素的无限小数表示的第一位小数的数字, 令它们的最大者为A1.

并记 S1 = { x | x∈S0, 并且 x的第一位小数为A1}。 S1也不是空集，并且对于任意 x ∈S ，

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