PKUSC2018题解

PKUSC2018题解

真实排名

分别考虑第\(i\)个人翻倍和不翻倍的情况，组合数算一下即可，务必注意实现细节。

代码

最大前缀和

设\(sum_s\)表示集合\(\sum_{i\in s} a_i\)，\(f_s\)表示最大前缀和等于\(sum_s\)的方案数，\(g_s\)表示选出集合\(s\)排成的最大前缀和均不大于\(0\)的方案数。
因为最终的答案肯定是最大前缀和所在的位置\(pos\)后面一定不存在有一段前缀和大于\(0\)，否则向后更新还可以更优。
令全集为\(U\)那么
\[
Ans=\sum_{S\subseteq U} sum_S\times f_S\times g_{\complement_U S}
\]
现在主要是考虑如何求\(f,g\)：

考虑主动转移，由后往前插入数字\(i\)，那么\(f_S\rightarrow f_{S\cup \{i\}},sum_S>0\)，因为这样的话从i向后选一定会更优；\(g\)的转移比较简单，就是\(g_S\rightarrow g_{S\cup \{i\}},sum_{S\cup\{i\}}\leq 0\)。

代码

主斗地

待填

星际穿越

令\(L(i)=\min_{j=i}^nl_j\)，首先你从一个点\(i\)起跳你的往左的可达区间为\([l_i,i)\)，然后第二步跳就可以跳到\([L(l_i),l_i)\)，然后一直跳就是这么个情况：\([L(L(...L(l_i))),上一次落脚点)\)。

直接预处理一个跳到另外一个是\(O(n^2)\)的有\(70pts\)，考虑怎么优化。

令倍增数组\(f_{i,j}\)表示从\(j\)左跳\(2^i\)下跳到哪，\(g_{i,j}\)表示\([f_{i,j},j]\)中所需贡献是多少。

那么你每次倍增求出\(x\rightarrow l\)的代价然后减去\(x\rightarrow r+1\)的代价即可，倍增的具体过程见代码。

代码

神仙的游戏

考虑长度为\(len\)的\(border\)的性质，就是说对于长度为\(n\)的字符串\(s\)，\(s[1...len]=s[n-len+1,n]\)(这不是定义吗)
也就是说位置\(i\equiv j\;(\bmod\;n-len)\)的话，\(i,j\)的数字相等。

那么对于一个不同的\(0,1\)假设他们的位置之差为\(x\)，假设不成立，则有\(x \equiv 0\;(\bmod\;n-len\))，即对于\(y|x\)，长度\(n-y\)的\(border\)不满足条件。

然后\(O(n^2)\)地做这个东西是\(67pts\)，想办法优化。

构造多项式
\[
A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}[s_i=0]x^i\\
B(x)=\sum_{i=0}^{n-1}[s_i=1]x^i
\]
因为我们要求确定差值，而多项式乘法能做的事是求出确定和，我们可以将\(A,B\)任意一个多项式\(reverse\)就可以做到了，最后枚举长度\(len\)的倍数，如果\(C=A\times B\)没有地方的\(C[n-1-k\cdot len]\geq 1\)以及\([n-1+k\cdot len]\geq 1\)，那么长度\(len\)就满足条件，这一部分复杂度是调和级数的。

总复杂度\(O(n\log n+n\ln n)\)。

代码

PKUSC

待填