题解 CF896C 【Willem, Chtholly and Seniorious】

貌似珂朵莉树是目前为止（我学过的）唯一一个可以维护区间x次方和查询的高效数据结构。

但是这玩意有个很大的毛病，就是它的高效建立在数据随机的前提下。

在数据随机的时候assign操作比较多，所以它的复杂度会趋近于mlogn（m为询问次数）。假如出题人想要卡珂朵莉树的话，那肯定是会T得没边。

因此不要指望什么题目都套珂朵莉树（虽然它能水过很多数据结构题），特别是在数据非随机的情况下不要使用。

当然，如果题目让你求区间x次方和而在题目条件下你想不出巧算，那写一颗珂朵莉树还是很OK的。

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不得不说珂朵莉树的博客我也看了很多篇了，大家却一笔带过（可能是我太弱了）细节只讲大致框架，而某大佬在B站上的视频讲解被某不知名的毒瘤lxl喷了所以没敢去看，只好一个人颓代码。

我讲的也不一定多标准，有什么错误麻烦各位指正。

另：不太熟悉set的可以参考这篇博客

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珂朵莉树的核心操作在于推平一个区间。

（貌似每篇博客都说这句话）

当然事实上珂朵莉树是将所有要操作的区间整合到一起去做的，实现也可以不依赖set，比如自己写一颗fhq Treap之类的。

先讲一下大体思路：

可以发现，这里面有一个操作是推平一整段区间。

因此我们让每一个节点维护一个区间，然后对于2号操作清空区间[l,r]里的所有区间，用一个大区间[l,r]取代他们。

对于1,3,4号操作，我们暴力地找到每一个[l,r]里面的区间，然后对它们各个进行操作。

时间复杂度的证明可以参考发明者的原话：传送门(注意是第五条)

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珂朵莉树的节点是这样定义的：

 struct node{
     int l,r;mutable ll v;
     node(int L,int R=-,ll V=):l(L),r(R),v(V){}
     bool operator < (const node &o)const{
         return l<o.l;
     }
 };

这个节点维护的是区间[l,r]，里面的每个数都初始化为v。

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有了基本的节点之后，通过set建立一棵树。

（set是C++自带的平衡树，但是慢到一种境界。只有在刷时限给力的题目时推荐）

set<node> s;

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然后是很核心的split操作，这个操作如同它的名字，将一个区间拆分开来。

 #define IT set<node>::iterator
 IT split(int pos){
     IT it=s.lower_bound(node(pos));
     if(it!=s.end()&&it->l==pos)return it;
     it--;
     int L=it->l,R=it->r;ll V=it->v;s.erase(it),s.insert(node(L,pos-,V));
     return s.insert(node(pos,R,V)).first;
 }

IT代表的玩意建议用宏，手打可以让你怀疑人生。

第一行使用了lower_bound，这个函数的作用是求前驱。

然后我们先看是否需要split这个区间，如果不需要就直接返回it。

假如现在程序还在运行，那说明我们需要split。

因此pos肯定在上一个区间里（显然），那我们把前一个彻底抹掉，然后再插入两段区间。

现在看来我们什么事情都没有做，删掉了区间又把它放回来了。

注意，其实我们并不是什么事情都没有做，因为我们在这个过程中已经拿到了需要的东西：后半段区间的迭代器（什么用后面说）

最后的返回语句可能比较玄学，事实上，set的insert操作返回一个<iterator,bool>的pair，我们只拿走第一个。

split操作就这样结束了，它的复杂度应该是log级的（set通过红黑树实现，而那玩意（我没写过）的操作据说是近似logn的）。

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同样核心的assign操作，是将一个区间的每一个值都设为一个值。

 void assign(int l,int r,int val=){
     IT itl=split(l),itr=split(r+);
     s.erase(itl,itr),s.insert(node(l,r,val));
 }

val默认为0（因为很多时候我们直接推平）。

首先我们拿到itl和itr，这两个东西分别是split(l)与split(r+1)的返回值，看起来可能不太好理解，但是画个图似乎挺明了的。

然后我们把中间的都删除（这是erase的另一种用法，删除区间内的所有元素），用一个大区间代替所有小区间。

没了，时间复杂度很能接受。

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add操作，给区间每个数加上val。

 void add(int l,int r,ll val=){
     IT itl=split(l),itr=split(r+);
     for(;itl!=itr;++itl)itl->v+=val;
 }

像我们之前说的那样，对于[l,r]内的所有小区间，暴力遍历一遍，给他们每一个都加上val。

可能有人会问：不会有加重复或者漏加的情况吗？

事实上不会。

漏加这个很明显是没有的，而重复加之所以没有是因为

1. 最开始没有重复。

2. 每一次推平不会产生重复。

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接下来是求区间k小值。

 ll rank(int l,int r,int k){
     vector<pair<ll,int> >vp;vp.clear();
     IT itl=split(l),itr=split(r+);
     for(;itl!=itr;++itl)vp.push_back(pair<ll,int>(itl->v,itl->r-itl->l+));
     sort(vp.begin(),vp.end());
     for(vector<pair<ll,int> >::iterator it=vp.begin();it!=vp.end();++it){
         k-=it->second;
         if(k<=)return it->first;
     }
     return -1ll;
 }

我们采取类似的思路：把[l,r]里面的所有元素取出来，扔到一个vector里面去。

然后给这个vector排个序。

便利一遍就可以找到最小值了。

最后的return -1ll;是特判找不到的情况，当然本题保证找得到。

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最后一个操作是区间x次方和，这个也十分暴力：

 ll sum(int l,int r,int ex,int mod){
     IT itl=split(l),itr=split(r+);ll res=;
     for(;itl!=itr;++itl)res=(res+(ll)(itl->r-itl->l+)*power(itl->v,(ll)ex,(ll)mod))%mod;
     return res;
 }

对于[l,r]每一个元素都暴力x次方，这个过程通过快速幂实现。

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然后珂朵莉树的操作基本就完了。

有人问我为什么代码都这么一样。

我也很无奈啊，只能说我学习的那篇博客和大家重复了qwq。