BZOJ 5028 小Z的加油店

【题解】

　　本题要求求出区间内的各个元素通过加减之后能够得出的最小的数，那么根据裴蜀定理可知答案就是区间内各个元素的最大公约数。

　　那么本题题意化简成了维护一个序列，支持区间加上某个数以及查询区间元素的最大公约数。

　　我们要证明这样一个定理：

　　　　对于一个序列(a,b,c,d,...)，gcd(a,b,c,d,...)=gcd(a,b-a,c-b,d-c,...)，文字表述就是原序列的最大公约数等于序列差分后的最大公约数。

　　证明方法如下：

　　    1,设t为序列(a,b,c,d,...)的公约数，a<b<c，b=k1*a+x1，c=k2*a+x2，

　　　　那么我们有t|a,t|b,t|c

　　　　所以有t|x1,t|x2

　　　　所以t|(x2-x1)

　　　　所以t|(k1-1)*a+x1,t|(k2-k1)*a+(x2-x1)

　　　　即t也是序列(a,b-a,c-b,...)的公约数

　　　　同理，(a,b,c,...)的任一公约数也是(a,b-a,c-b,...)的公约数。

　　    2,设t为序列(a,b-a,c-b,...)的公约数，

　　　　那么有t|a, t|(k1-1)*a+x1, t|(k2-k1)*a+(x2-x1)

　　　　所以有t|x1,t|x2-x1

　　　　所以t|x2

　　　　所以t|a, t|k1*a+x1,t|k2*a+x2

　　　　即t也是序列(a,b,c,...)的公约数

　　　　同理，(a,b-a,c-b,...)的任一公约数也是(a,b,c,...)的公约数。

　　　综上，gcd(a,b,c,...)=gcd(a,b-a,c-b,...).

　　证明完这个定理之后，我们就可以把题意化为求区间第一个元素与后面元素的差分值的GCD

　　我们先把原序列差分，线段树维护差分数组的GCD。因为我们已经进行了差分，所以区间加操作变成了点修改，可以直接在线段树上logn完成。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #define LL long long
 #define rg register
 #define N 100010
 #define ls (u<<1)
 #define rs (u<<1|1)
 #define mid ((a[u].l+a[u].r)>>1)
 using namespace std;
 int n,m,v[N],c[N],t[N];
 struct tree{
     int l,r,g;
 }a[N<<];
 inline int read(){
     int k=,f=; char c=getchar();
     while(c<''||c>'')c=='-'&&(f=-),c=getchar();
     while(''<=c&&c<='')k=k*+c-'',c=getchar();
     return k*f;
 }
 int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;}
 void build(int u,int l,int r){
     a[u].l=l; a[u].r=r;
     if(l<r) build(ls,l,mid),build(rs,mid+,r),a[u].g=gcd(a[ls].g,a[rs].g);
     else a[u].g=abs(c[l]);
 }
 void update(int u,int pos,int data){
     if(a[u].l==a[u].r){
         a[u].g=data; return;
     }
     update(pos<=mid?ls:rs,pos,data);
     a[u].g=gcd(a[ls].g,a[rs].g);
 }
 int query(int u,int l,int r){
     if(l<=a[u].l&&a[u].r<=r) return a[u].g;
     int ret=; bool goleft=;
     if(l<=mid) ret=query(ls,l,r),goleft=;
     if(r>mid){
         if(goleft) ret=gcd(ret,query(rs,l,r));
         else ret=query(rs,l,r);
     }
     return ret;
 }
 inline void add(int x,int y){for(;x<=n+;x+=(x&-x)) t[x]+=y;}
 inline int qsum(int x){int ret=; for(;x;x-=(x&-x)) ret+=t[x]; return ret;}
 int main(){
     n=read(); m=read();
     for(rg int i=;i<=n;i++) v[i]=read(),c[i]=v[i]-v[i-],add(i,c[i]);
     build(,,n);
     while(m--){
         int opt=read(),l=read(),r=read(); if(l>r) swap(l,r);
         if(opt==){
             if(l<r) printf("%d\n",gcd(qsum(l),query(,l+,r)));
             else printf("%d\n",qsum(l));
         }
         else{
             int del=read();
             c[l]+=del; c[r+]-=del;
             add(l,del); if(r<n) add(r+,-del);
             update(,l,abs(c[l])); if(r<n) update(,r+,abs(c[r+]));
         }
     }
     return ;
 }