寒武纪camp Day6

补题进度：10/10

A(树形dp)

略

B(dp)

题意：

　　给出一个n个关键节点的机械手臂，最开始是竖直的，即关键点在二维平面上的坐标分别是(0,0) (0,100) (0,200) (0,300)......，然后我们每次可以选择一个关键节点把它旋转45°（当然它上面的那些点也要跟着旋转）

　　现在有q个询问，每个询问输入一个矩形，问最少通过多少次操作使得机械手臂的末端落到这个矩形内

　　n<=10,q<=1000

分析：

　　首先关键点转的先后顺序对结果并没有影响，所以不妨我们先转下层的，再转上层的

　　很自然的想法就是枚举每个关键点转了多少个45°，但是这样复杂度是8^10的，会TLE

　　我们考虑减少状态，我们发现转动了前i个关键点，第i个点落在某个位置的时候，前面有很多转动方法，这些状态对后面影响是一样的，但是我们每次却要去计算它

　　进一步发现每个可达点的坐标都可以用(100a+50sqrt(2)b,100c+50sqrt(2)d)来表示，所以我们可以把位置用四元组(a,b,c,d)来表示

　　于是考虑dp[i][a][b][c][d][last]表示转了前i个位置，目前终点是在(a,b,c,d)，并且上面的机械手臂的朝向是last方向的最少步数

　　枚举每个点的转动然后计算出所有dp值就行了

C(树形dp)

题意：

　　求n个点m条边的无向图的最小点覆盖

　　2<=n<=1000,0<=m<=n+10

分析：

　　对于一般无向图的最小点覆盖是没有多项式解的，这题的数据范围很特殊，m<=n+10

　　首先如果m<=n-1，那么就是简单的树形dp，现在是在树的基础上，多出了11条边

　　我们考虑先去人为枚举这些额外边对应的点的选取是否，然后再做树形dp，这样就ok了

　　对于一条非树边(u,v)，那么有三种情况：u选v不选；u不选v选；uv都选

　　那么这样时间复杂度就是O(3^11*n)是TLE的

　　我们考虑把三种情况压缩成两种：u选v不选；u随意v选

　　然后时间复杂度就是O(2^11*n)的了，就过了

D(博弈)

题意：

　　Alice和Bob进行博弈，刚开始有一个整数K，Alice可以把一个数字x变成$[\frac{x}{a1},\frac{x}{a2}]$中的一个实数，Bob可以把一个数字x变成$[\frac{x}{b1},\frac{x}{b2}]$中的一个实数，Alice和Bob轮流操作

　　如果某个人的某一次操作之后，数字小于1了，那么他就获胜了

　　给定整数k,a1,a2,b1,b2，问最终谁能获胜

　　1<=k<=1e9,2<=a2<=a1<=1e9,2<=b2<=b1<=1e9

分析：

　　[0,1)是先手必败态，我们考虑把[0,1)倍增上去直到包含k，那么我们就知道了k到底是Alice先手必胜还是Alice先手必败了

　　假设我们已经知道了[0,m)的Alice/Bob先手胜败情况，那么是可以转移到[0,tm)的，其中t=min(a2,b2)，要怎么转移呢？

　　对于[0,m)中的Alice先手必胜区间[l,r)，那么[l*b2,r*b1)是[0,tm)的Bob先手必败态，其它同理

　　我们需要记录下所有的Alice、Bob胜败区间，去用区间更新，具体细节见代码

E(计算几何)

略

F(构造)

略

G(fibonacci循环节)

题意：

　　求fibonacci在模p意义下的循环节,p不一定是质数

　　2<=p<=2e9

分析：

　　我们把p分解成$p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}...$，然后对每个$p_i^{k_i}$求出循环节，然后求个lcm就是结果了

　　模$p_i^{k_i}$的循环节就是模$p_i$的循环节乘上$p_i^{k_i-1}$

　　根据结论，模一个质数$p_i$的循环节一定是(p+1)(p-1)的因数，枚举因子就行了

　　时间复杂度是O(sqrt(p)*log(p))

H(dp套dp+轮廓线)

题意：

　　给出一个n行m列的矩阵，每个矩阵元素是0/1/2，现在要从(1,1)走到(n,m)，每步只能向下走一步或者向右走一步，将走过的路上的数字加起来作为你的得分，假设最大得分是k

　　现在给定n,m，你需要回答对于k=0,1,2,...,2(n+m-1)，有多少种n行m列的矩阵，最大得分是k

　　1<=n,m<=6

分析：

　　考虑一个简单的问题，给定这个矩阵，如何求出最大得分？这是一个很简单的dp问题，dp[i][j]表示走到(i,j)的最大得分

　　现在我们要去统计方案数，我们需要把dp[i][j]作为状态放到我们的计数dp里

　　dp[i][j][state]表示填数填到了(i,j)，dp状态是state情况下的方案数，其中state应该是一个二维数组

　　那么时间复杂度是O(n*m*23^(nm))的，是很爆炸的

　　我们仔细分析发现对(i,j)有影响的dp状态只又(i,j)轮廓线上的所有位置，也就是说只有m个，所以我们可以做轮廓线dp

　　这样时间复杂度就是O(n*m*23^m)

　　我们不用数组去存那个轮廓线，用vector去存那个轮廓线，那么状态就会继续大大减少

　　但是这样还是比较慢，没法在几秒内跑出来的，但没关系，打个表就可以了

I(贪心)

题意：

　　给出n个a区间和m个b区间[li,ri]。你需要从b区间中选择最少的区间，使得每个a区间都和你选出的某个b区间有交。

　　n,m<=2000，li,ri<=1e9

分析：

　　首先把a中包含其它区间的区间删除，把b中被其它区间包含的区间删除，那么a,b中的区间按照左端点上升排序，右端点也是上升的了

　　对于b区间的删除很好办，对于a区间的删除只需要拿个栈来维护就行了

　　删完之后就简单的贪心就行了

　　时间复杂度O(nlogn)

J(贪心)

题意：

　　给出一个n的排列p，你可以交换相邻的数让它从小到大排列，最少交换次数显然是逆序对的个数k。问通过k步交换使它从小到大的方案是否唯一。

　　n<=1e5

分析：

　　如果某一时刻，可以交换的相邻逆序对有两个，那么就是不唯一了

　　仔细分析发现，唯一当且仅当只有一个数字偏离了正确的相对位置，即最长公共子序列的长度是n-1