Scipy-数值计算库

　　Scipy在Numpy的基础上则加了众多的数学计算，科学计算以及工程计算中常用的模块，例如线性代数，常微分方程的数值求解，信号处理，图像处理，系数矩阵等。在本章中，将通过实例介绍Scipy中常用的的一些模块。为了方便读者理解，在示例程序中使用matplotlib，TVTK以及Mayavi等扩展绘制二维以及三维图表。

　　Scipy的special模块是一个非常完整的函数库，其中包含了基本数学函数，特殊数学函数以及Numpy中出现的所有函数。

　　伽马（gamma）函数γ时概率统计学中经常出现的一个函数，它计算公式如下：

　　显然这样计算起来特别的麻烦，幸运的是。scipy.special中有内置的gamma模块。

>>> import scipy.special  as S
>>> S.gamma(4)
6.0
>>> S.gamma(0.5)
1.7724538509055159
>>> S.gamma(1+1j)
(0.4980156681183554-0.15494982830181081j)
>>> S.gamma(1000)
inf

　　Γ（z）函数时结成函数在实数和复数系上的扩展，他的增长速度特别的块，1000的阶乘就超过了双精度浮点数的表示范围，因此结果就是无穷大。为了计算更大的范围可以使用gammaln（）计算ln（|Γ（x）|）的只，它使用特殊的算法，能够直接计算Γ函数的对数值，因此可以表示更大的范围。

Scipy的constants模块中包含了众多的物理常数：

>>> from scipy import constants as C
>>> C.c # 真空中的光速
299792458.0
>>> C.h #普朗克常数
6.62607004e-34

　　special模块中的某些函数并不是数学意义上的特殊函数，例如log1p（x）计算log（1+x）的值。这是由于浮点数的精度有限，无法很精确的表示非常接近1 的常数。例如无法用浮点数表示1+1e-20的值，因此

>>> import math
>>> math.log(a)
0.0

，然而当使用log1p的时候，则可以很精确的计算。实际上当x非常小的时候，log1p（x）约等于x，这可以通过对log（1+x）进行泰勒级数展开进行证明。在后续的章节我们会学习如何使用符号计算库SymPy进行泰勒级数展开。

　　这些特殊函数与NumPy中的一般函数一样，都是ufunc函数，支持数组的广播运算。例如elipj（u，m）计算雅克比矩阵，他有两个参数u和m，返回四个值sn = sinΦ，cn = cosΦ，dn = （1-msin²Θ）^-1/2 由于ellipj（）支持广播运算。因此下面的程序在调用他时传递的两个参数的形状分别为（200,1）和（1,5），于是得到的四个结果数组的形状都是（200,5），图3-1显示了这些曲线。

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　　Scipy的optimize模块提供了许多数值优化算法，本节对其中的非线性方程组求解，数据拟合，函数值等进行简单介绍

非线性方程组求解

　　fsolve（）可以对非线性方程组进行求解，他的基本调用格式为fsolve（func，x0）.其中func是计算方程组误差的函数，他的参数x是一个数组，其值为方程组的一组可能的解func返回将x带入方程组之后得到的每个方程的误差x0为未知数的一组初始值，假设要对下面的方程组进行求解：

　　f1（u1，u2,u3） = 0,f2（u1，u2，u3） = 0，f3（u1，u2，u3） = 0

　　那么finc函数可以定义为：

from math import sin,cos
from scipy import optimize

def f(x):
    x0,x1,x2 = x.tolist()

    return [5*x1+3,4*x0*x0-2*sin(x1*x2),x1*x2-1.5]

result = optimize.fsolve(f,[1,1,1])
print(result)
print(f(result))

[-0.70622057 -0.6        -2.5       ]
[0.0, -9.126033262418787e-14, 5.329070518200751e-15]

　　f（）时计算方程组的误差的函数，x参数是一组可能的解，fsolve（）在调用f（）时，传递给f（）的参数是一个数组，先调用tolist，将其转化为标准浮点数列表，然后调用math函数中的模块进行计算。因为在进行单个数值的运算的时候，标准浮点类型比NumPy的浮点类型要快许多，所以把数值转化成标准浮点数类型，能缩短一些计算时间。调用fsolve（）时，传递计算误差的函数f（）以及未知数的初始值。

　　在对方程组进行求解的时候，fsolve（）会自动计算方程组在某点对各个未知数变量的偏导数，这些偏导数组成一个二维数组，数学上称之为雅克比矩阵。如果方程组的未知数很多，而与每个方程有关联的未知数较少，即雅克比矩阵比较稀疏的时候，将计算雅克比矩阵的函数作为参数传递给fsolve（），这样可以大幅度提高运算速度，逼着在一个模拟计算的程序中需要求解有50个未知数的非线性方程组每个方程平均与6个未知数相关，通过传递计算雅克比矩阵的函数时fsolve（）的计算速度提高了4     倍。

最小二乘拟合

　　假设有一组实验数据（x_i，y_j），我们实现知道他们应该满足某种函数关系y_i = f（x_i）。通过这些已知信息，需要确定函数f（x）的一些参数。例如函数f（）时线性函数f（x） = kx+b那么参数k和b就是需要确定的值。如果用p表示函数中需要确定的参数，则目标是找到一组p使得函数S的值最小。

如果用p表示函数中需要确定的参数，则目标时找到一组p使得函数S的值最小：

　　这种方法叫做最小二乘拟合。在optimize模块中，可以受用leastsq（）对数据进行最小二乘拟合运算。leastsq（）的用法非常的简单。只需要将计算误差的函数和待确定参数的初始值传递给它即可。

import numpy as np
from scipy import optimize

x = np.array([8.19 , 2.72 , 6.39 , 8.71 , 4.7 , 2.66 , 3.78])
y = np.array([7.01 , 2.78 , 6.47 , 6.71 , 4.1 , 4.23 , 4.05])

def residuals(p):
    k,b = p
    return y - (k*x + b)

r = optimize.leastsq(residuals,[1,0])

k,b = r[0]
print("k = ",k,"b = ",b)

接下来看一个对正弦波进行拟合的例子。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import optimize
#import pylab as pl
def func(x,p):
    """
    数据拟合用的函数
    """
    A , k , theta = p
    return A*np.sin(2*np.pi*k*x+theta) #对 周期，相位，峰值都有参数可以调
def residuals(p,y,x):
    """
    实验数据x，y和拟合数据之间的差，p为拟合需要找到的系数
    """
    return y - func(x,p)

x = np.linspace(0,2*np.pi,100)
A , k , theta = 10 , 0.34 , np.pi/6 # 真实数据的函数参数
y0 = func(x,[A , k , theta])        # 真实数据    广播运算
np.random.seed(0)
y1 = y0 + 2 * np.random.randn(len(x))

p0 = [7 , 0.4 , 0] # 第一次猜测的函数拟合参数
plsq = optimize.leastsq(residuals , p0 , args = (y1,x))
print("真实参数",[A,k,theta])
print("拟合参数",plsq[0])#实验数据 拟合之后的参数

plt.plot(x , y1 , "o" , label = u"Noisy data")
plt.plot(x , y0 , label = u'Real data' )
plt.plot(x,func(x,plsq[0]),label = u'Fitting data')
plt.legend(loc = 'best')
plt.show()

真实参数 [10, 0.34, 0.5235987755982988]
拟合参数 [ 10.25218748   0.3423992    0.50817425]

　　和上一个不同的是，这里的leatsq有一个args参数。因为residuals函数 有三个参数，所以这里调用的时候也需要将这三个参数传入，当然也可以改变一下采用上面没有args的写法。