AGC055

AGC055

第一次打AGC，好难受。

T1 看了一眼题解，没看懂……但是还是做出来了。

T2 感觉比 T1 简单，构造很好猜。

其他的没时间思考，T1 花了我 2h30min，难受。

A.ABC Identity

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翻译：

给定长度为 \(3n\) 的序列，其中字母 ABC 各有 \(n\) 个。

一个合法序列 \(T\) 满足以下条件：

• 其长度为 \(3k (1 \le k \le n)\)。

• \(T_1 = T_2 = ... = T_k\)

• \(T_{k + 1} = T_{k + 2} = ... = T_{2k}\)

• \(T_{2k + 1} = T_{2k + 2} = ... = T_{3k}\)

• \(T_1, T_{k + 1}, T_{2k + 1}\) 互不相同。

求一个把这个序列分成不多于 \(6\) 个合法的序列的方案。

可以证明，一定存在一种合法的划分。

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分三段考虑。

std 做法是关于 ABC 的 6 种排列，依次枚举，贪心选择。

我在考场上是：先考虑前两半，相异配对，网络流解决。

不会产生相同配对的正确性？由于是相异配对，如果产生相同配对，则某一个一定超过了 \(n\) 个，不符合题意。所以网络流可以解决，贪心选择没问题。

网络流只有 \(6 + 2\) 个点，所以可以看作常数，复杂度 + O(1)

所以整体复杂度 \(O(n)\)

妈的，傻逼网络流，真的服……

B.ABC Supremacy

考虑如下转化：

\[A \overline{ABC} \to \overline{ABC} A \\
B \overline{ABC} \to \overline{ABC} B \\
C \overline{ABC} \to \overline{ABC} C
\]

也就是我们贪心把所有的 \(\overline{ABC}\) 放在最前面即可。（相当于删除）

由于拼接后也可能存在 \(\overline{ABC}\)，所以利用栈的思想处理。

复杂度 \(O(n)\)。

C.Weird LIS

方法1：组合

参考 AGC055C - Legitimity 的博客 - 洛谷博客 和补充 题解：AGC55C Weird LIS - Edward1002001 的博客 - 洛谷博客

这里再做一点说明。

• 无用点为什么不可连续？考虑 4 3 5 2 1 7 6，也就是 非 非 必 无 无 非 非。这个排列和 2 1 3 7 6 5 4 ，也就是 非 非 必 非 非 非 非 是等价的。也就是说，连续的 非 会使得我们重复计数。所以不可以连续。

• ans 初始设置？其实枚举的是没有必经点的情况（全是非必经点），需要满足：

  • \(k \le \lfloor \frac n2 \rfloor\)

  • \(k \le m\)

  • \(k \ge 2\)

  所以才有 \(\min(m, \lfloor \frac n2 \rfloor) - 1\)。但是我们还需要考虑当 \(m = n - 1\) 时，可以存在全是必经点的情况，也就是 1 2 3 ... n 的情况。

• 为什么 \(\min(m, x + y) - \max(x, 3) + 1\)？这里枚举的是 \(k\)，\(k\) 的下界确定了，因为存在 \(k - 1\)，所以 \(k - 1 \ge 2 \iff k \ge 3\)。

其他部分最终式子为：

\[\sum_{x = 1}^{\min(m, n - 1)} \sum_{y = 0}^{\lfloor \frac {n - x}2 \rfloor}
{x + y \choose x} {x + 1 \choose n - x - 2y} (\min(m, x + y) - \max(x, 3) + 1)
\]

方法2：自动机

参考 at_agc055_c Weird LIS 题解 - juruo - 洛谷博客

这里做一点解释：

• 状态机的设定，4种状态：

  1. 除了 CAN，都能放

  2. 只能放 CAN

  3. 可以放 MUST 或者 USELESS，之后 MUST 还可以跟 MAY

  4. 可以放 MUST 或者 USELESS，之后 MUST 不可以跟 MAY

• 为什么有状态4？因为 k 确定了红黑对的数量，而我们是贪心的把所有红黑对尽可能放在前面。而可能存在只有 非 非 无 必 的情况，所以有状态 3，通过 MUST 转移到 1，通过 USELESS 转移到 4，但是不能再来一个 MAY！

D.ABC Ultimatum

一道猜结论的题。

观察三个串，有 ABC，BCA，CAB，我们考察能划分成这三种串的串的性质。

考虑每一个字母出现的次数：由于 B 只在 BCA 中在 A 前面，其他的类似。我们考虑定义 \(M_B = \max S_B - S_A\)，其他的类似。

可以发现，\(M_B \le C_{BCA}\)，同理，得到 \(M_A + M_B + M_C \le C_{ABC} + C_{BCA} + C_{CAB} = N\)。

这是必要条件，所以考虑证明充分性（不会。

所以我们可以设出一个 \(O(n^7)\) 的 DP，令 \(f_{a, b, c, x, y, z}\) 表示 ABC 的数量以及 \(M_A, M_B, M_C\)。

不过考虑 \(a + b + c = i\) 的时候才有贡献，所以可以省一维，变为 \(O(n^6)\)。

E.Set Merging

神仙思路题。

我们把整个序列看作一个排列，每一次的合并相当于交换排列中的两个位置。

而最终 \(S_i \to [ \min_{j = i}^n P_j, \max_{j = 1}^i P_j]\)，一个后缀 \(\min\) 和一个前缀 \(\max\)。

考虑归纳法，分 \(P_i > P_{i + 1}\) 或者 \(P_i < P_{i + 1}\) 讨论。

最终就是求合法序列的最小逆序对数。考虑贪心放置，用数状数组求。

总复杂度 \(O(n + n \log n)\)，可以通过6指针的方法优化到 \(O(n + n)\)。