Minnaert

Minnaert 假设气泡关闭时发生周期性膨胀和收缩，周围水也跟着振动，就嗷地一声叫了出来！设有个半径为 \(r\) 的泡形成后开始简谐振动，半径有

\[r=r_0+a\sin\frac{2\pi t}T
\]

下面考虑势能和动能的守恒，先算势能。当气泡半径减小 \(x\) 时，体积减小的比例是 \(\left(\dfrac{r-x}r\right)^3\)。假设瞬间的体积压缩是绝热过程（合理，毕竟嗷的一瞬间传热哪有那么快的），则压力满足

\[\frac p{p_0}=\frac{v_0^k}{v^k}=\left(\frac r{r-x}\right)^{3\kappa},\frac{c_p}{c_v}=\kappa
\]

假设气泡的脉动不太大（合理，气泡也不可能一瞬间变多小），则可以直接一阶近似

\[p-p_0=\frac{3\kappa px}r
\]

在压缩到最小体积下的势能是：

\[-\int_{V_0}^V\left(p-p_0\right)\mathrm dV=\int_0^a\frac{3\kappa px}r4\pi r^2\mathrm dx=6\pi\kappa pra^2
\]

再算动能。谐振子的动能由水的运动决定，假设水的运动是径向的。气泡壁的速度为：

\[\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=\frac{2\pi a}T\cos\frac{2\pi T}T
\]

距离 \(R\) 处的一个小水团子的速度为

\[\frac{r^2}{R^2}\frac{2\pi a}T\cos\frac{2\pi T}T
\]

气泡脉动时所有水团子的总动能我们直接积分只因到无穷远。

\[\frac 12\int\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}\right)_{\max}^2\mathrm dm=\frac\rho2\int_r^\infty\left(\frac{r^2}{R^2}\frac{2\pi a}T\right)^24\pi R^2\mathrm dR=\frac{8\pi^3\rho r^3a^2}{T^2}
\]

简谐运动让动能等于势能就有

\[6\pi\kappa pra^2=\frac{8\pi^3\rho r^3a^2}{T^2}
\]

算出气泡的脉动周期和频率，即我们要求的 Minnaert 共振频率！

\[T^2=\frac{4\pi^2\rho r^2}{3\kappa p},f=\frac 1T=\frac1{2\pi r}\sqrt\frac{3\kappa p}\rho
\]

代入室温下的气体数据

\[f=\frac1{2\pi r}\sqrt\frac{3\times1.400\times100000}{1000}\approx\frac{3.26\text{(m/s)}}r
\]