Solution Set - NOI级别真题选做

[NOI2007] 社交网络

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key：Floyd

Floyd求出任意两点间最短路，以及最短路的条数。求点 \(k\) 的答案时枚举所有点对 \(i,j\)，若 \(dis_{i,k}+dis_{k,j}==dis_{i,j}\)，则以 \(\frac{cnt_{i,k} \times cnt_{k,j}}{cnt_{i,j}}\) 加入答案。

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[NOI2009] 管道取珠

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key：DP

状态设计有点意思。想象有两个管道，每次两个管道各出一个球，则所求即为两个管道每次出球都相同的方案数。状态设计为三维，然后把第一维压掉。

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[NOI2009] 变换序列

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key：基环树

首先根据 \(d_i\) 求出可能的 \(t_i\)（至多两个取值），然后建二分图。建图时允许重边，这样每个左部点的度都为2。只用求该图字典序最小的完美匹配。分出这个图上的连通块，必须每个连通块都是基环树才有解。是基环树时，找到环上编号最小左部点，让它的匹配点取较小的一个即可。

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[NOI2009] 诗人小G

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key：四边形不等式优化

模板题。

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[NOI2010] 海拔

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key：平面图最小割

显然所有点的海拔只可能是0或1。然后转对偶图最短路。模板题。

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[CTSC2010] 星际旅行

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这是黑？这是黑？这是黑？

key：思维题

注意到最后那个条件，可以先遍历整棵树，然后选择一些边重复走，使其两端点的 \(h_i\) 值都减一。这个步骤贪心地完成：以 \(0\) 为根，先让叶子结点尽可能用光（同时耗费父亲结点）。遍历整棵树，到达点 \(u\) 时相当于 \(u\) 到 \(0\) 的路径少走了一遍，这样可以把路径上（不含 \(0\)）的所有点的 \(h_i\) 值加一。可以在DFS进入一个点时加一，离开时减一。考虑这样操作的影响。加一时优先与儿子匹配，如果不行就再与父亲匹配，再不行就不管了。减一时如果能减直接减，否则优先与父亲匹配（少重复一次），不行就再与儿子匹配。只要在儿子上记录它与父亲结点的匹配次数即可。

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[NOI2009] 植物大战僵尸

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key：拓扑排序，最小割

依照题意建有向图，\(x\) 向 \(y\) 连边表示要攻击 \(y\) 必须先攻击 \(x\)。从源点向最右侧的点连边，跑拓扑排序求出所有可能攻击的位置。然后对原图所有边（与源点无关）建反向边，流量INF（防止割断）；源点向所有点连流量为 \(D\) 的边，所有点向汇点连流量为 \(D-\) 点权 的边，跑最小割即可。这里 \(D\) 是一个合适的常数，使得所有流量为正。

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[WC2009] 最短路问题

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key：线段树

难。情况多到离谱。建议摆烂。

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[CTSC2010] 产品销售

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这是紫？这是紫？这是紫？

key：模拟费用流

费用流模型是好建的，然后完全不会。看题解叭。