使用单调队列优化的 O(nm) 多重背包算法

我搜索了一下，找到了一篇很好的博客，讲的挺详细：链接。

解析

多重背包的最原始的状态转移方程：

令 c[i] = min(num[i], j / v[i])

f[i][j] = max(f[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i])     (1 <= k <= c[i])  这里的 k 是指取第 i 种物品 k 件。

如果令 a = j / v[i] , b = j % v[i] 那么 j = a * v[i] + b.

这里用 k 表示的意义改变， k 表示取第 i 种物品的件数比 a 少几件。

那么 f[i][j] = max(f[i-1][b+k*v[i]] - k*w[i]) + a*w[i]      (a-c[i] <= k <= a)

可以发现，f[i-1][b+k*v[i]] - k*w[i] 只与 k 有关，而这个 k 是一段连续的。我们要做的就是求出 f[i-1][b+k*v[i]] - k*w[i] 在 k 取可行区间内时的最大值。

这就可以使用单调队列优化。

代码

其中 Q1 是一个用来存储可用状态的队列， Q2 是单调队列。

//f[i][j] = max(f[i-1][b+k*v[i]] - k*w[i]) + a*w[i]   (a-c[i] <= k <= a)

for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	Ni = Num[i]; Vi = V[i]; Wi = W[i];
	for (int j = 0; j < Vi; ++j) {
		Head1 = Tail1 = 0;
		Head2 = Tail2 = 0;
		Cnt = 0;
		for (int k = j; k <= m; k += Vi) {
			if (Tail1 - Head1 == Ni + 1) {
				if (Q2[Head2 + 1] == Q1[Head1 + 1]) ++Head2;
				++Head1;
			}
			t = f[k] - Cnt * Wi;
			Q1[++Tail1] = t;
			while (Head2 < Tail2 && Q2[Tail2] < t) --Tail2;
			Q2[++Tail2] = t;
			f[k] = Q2[Head2 + 1] + Cnt * Wi;
			++Cnt;
		}
	}
}

例题：HDOJ - 1171