NYOJ 1091 超大01背包(折半枚举)

这道题乍一看是普通的01背包，最最基础的，但是仔细一看数据，发现普通的根本没法做，仔细观察数组发现n比较小，利用这个特点将它划分为前半部分和后半部分这样就好了，当时在网上找题解，找不到，后来在挑战程序设计上找到了这个题，就拿来引用一下

挑选物品的方法总从2^n中，直接枚举肯定不行，因为n最大为40，但是如果n为20就可以了，这时候就要用到折半枚举，先枚举前一半，在枚举后一半。先把前把部分的选取方法对应的重量和价值总和记为w1, v1,这样后半部分寻找w2 <= W - w1时 使v2最大的选取方法就好了。

因此，我们要思考从枚举得到的(w2, v2)的集合中高效寻找max{v2|w2<=W'}的方法。首先，显然我们可以排除所有w2[i] <= w2[j]并且v2[i] >= v2[j] 的 j。 这一点可以按照w2,v2的字典序排列后做到。此后剩余的元素都满足w2[i] < w2[j] , v2[i] < v2[j], 要计算max{v2|w2<=W'}的话，只要寻找满足w2[i]<=W'的最大的i就可以了。这可以利用二分搜索完成。剩余的元素个数为M的话，一次搜索要用log(M)的时间，可以解决

代码如下：

方法一(折半枚举):

 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <cstdio>
 #define Max(a,b) a>b?a:b
 #define INF 10000000000000000
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int MAX = ;
 LL weight[MAX], value[MAX];
 LL W;
 pair<LL, LL> ps[ << (MAX / )];
 int n;
 void slove()
 {
     //枚举前半部分
     int n2 = n / ;
     for (int i = ; i <  << n2; i++)//前半部分的枚举总数为 2^(n/2);
     {
         LL sw = , sv = ;
         //每种结果选取特定的价值和重量(i.e 一共2个东西，就一共四种情况，都不选，选第一个，选第二个，都选)
         for (int j = ; j < n2; j++)
         {
             if (i >> j & )
             {
                 sw += weight[j];
                 sv += value[j];
             }
         }
         ps[i] = make_pair(sw, sv);//加入到ps数组中
     }
     //对ps排序
     sort(ps, ps + ( << n2));
     //ps 去重
     int m = ;
     for (int i = ; i <  << n2; i++)
         if (ps[m - ].second < ps[i].second)
             ps[m++] = ps[i];
     LL res = ;//保存结果
     //枚举后半部分， 并且找到最优解
     for (int i = ; i <  << (n - n2); i++)//同样枚举的总个数
     {
         LL sw = , sv = ;
         for (int j = ; j < n - n2; j++)//和前半部分的一样
         {
             if (i >> j & )
             {
                 sw += weight[n2 + j];
                 sv += value[n2 + j];
             }
         }
         if (sw <= W)//加个判断求解最大价值，只有小于背包容量的时候
         {
             LL tv = (lower_bound(ps, ps + m, make_pair(W - sw, INF)) - )->second;//找到前半部分对应的value
             res = Max(res, sv + tv);
         }
     }
     printf("%lld\n", res);
 }

 int main()
 {
     while (~scanf("%d %lld", &n, &W))
     {
         for (int i = ; i < n; i++)
             scanf("%lld %lld", &weight[i], &value[i]);
         slove();
     }
     return ;
 }
         

这个题也可以用搜做来做，搜索反而来的更快，因为n比较小

方法二(搜索):

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define Max(a, b) a > b ? a : b
 const int MAX = ;
 long long weight[MAX], value[MAX], sw[MAX], sv[MAX];
 long long W, n, ans;
 //i表示当前取到第n-i个，cnt 表示当前的总value， w当前背包剩余的空间
 void dfs(int i, long long cnt, long long w)
 {
     if (i == )//取到最后
     {
         ans = Max(ans, cnt);
         return;
     }
     if (w ==  || cnt + sv[i] < ans)//背包满或者当前总的加上这个前i个的总价值小于当前的总value，这步是剪枝
         return ;
     if (w >= sw[i])//因为是从上往下找的，所以只要当前容量能装下前i个的和，所以这时一定是最大的
     {
         cnt += sv[i];
         ans = Max(ans, cnt);
         w = ;
         return ;
     }
     if (w > weight[i])//深搜两种状态
         dfs(i - , cnt + value[i], w - weight[i]);//相当于01背包中的两种状态
     dfs(i - , cnt, w);
 }
 int main()
 {
     while (~scanf("%d %lld", &n, &W))
     {
         memset(sw, , sizeof(weight));
         memset(sv, , sizeof(value));
         ans = ;
         for (int i = ; i <= n; i++)
         {
             scanf("%lld %lld", &weight[i], &value[i]);
             sw[i] = sw[i - ] + weight[i];
             sv[i] = sv[i - ] + value[i];
         }
         dfs(n, , W);
         printf("%lld\n", ans);
     }

     return ;
 }