bzoj 3572 [Hnoi2014]世界树（虚树+DP）

3572: [Hnoi2014]世界树

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Description

世界树是一棵无比巨大的树，它伸出的枝干构成了整个世界。在这里，生存着各种各样的种族和生灵，他们共同信奉着绝对公正公平的女神艾莉森，在他们的信条里，公平是使世界树能够生生不息、持续运转的根本基石。

世界树的形态可以用一个数学模型来描述：世界树中有n个种族，种族的编号分别从1到n，分别生活在编号为1到n的聚居地上，种族的编号与其聚居地的编号相
同。有的聚居地之间有双向的道路相连，道路的长度为1。保证连接的方式会形成一棵树结构，即所有的聚居地之间可以互相到达，并且不会出现环。定义两个聚居
地之间的距离为连接他们的道路的长度；例如，若聚居地a和b之间有道路，b和c之间有道路，因为每条道路长度为1而且又不可能出现环，所卧a与c之间的距
离为2。

出于对公平的考虑，第i年，世界树的国王需要授权m[i]个种族的聚居地为临时议事处。对于某个种族x（x为种族的编号），如果距离该种族最近的临时议事
处为y（y为议事处所在聚居地的编号），则种族x将接受y议事处的管辖（如果有多个临时议事处到该聚居地的距离一样，则y为其中编号最小的临时议事处）。
    现在国王想知道，在q年的时间里，每一年完成授权后，当年每个临时议事处将会管理多少个种族（议事处所在的聚居地也将接受该议事处管理）。现在这个任务交给了以智慧著称的灵长类的你：程序猿。请帮国王完成这个任务吧。

Input

第一行为一个正整数n，表示世界树中种族的个数。
    接下来n-l行，每行两个正整数x，y，表示x聚居地与y聚居地之间有一条长度为1的双
向道路。接下来一行为一个正整数q，表示国王询问的年数。
    接下来q块，每块两行：
    第i块的第一行为1个正整数m[i]，表示第i年授权的临时议事处的个数。
    第i块的第二行为m[i]个正整数h[l]、h[2]、…、h[m[i]]，表示被授权为临时议事处的聚居地编号（保证互不相同）。

Output

输出包含q行，第i行为m[i]个整数，该行的第j(j=1，2…，，m[i])个数表示第i年被授权的聚居地h[j]的临时议事处管理的种族个数。

Sample Input

2 1

3 2

4 3

5 4

6 1

7 3

8 3

9 4

10 1

6 1

2 7 3 6 9

8 7 10 3

2 9 3 5 8

Sample Output

1 9

3 1 4 1 1

1 1 3 5

4 1 3 1 1

HINT

N<=300000, q<=300000,m[1]+m[2]+…+m[q]<=300000

Source

【思路】

虚树+Dfs序+DP

　　直接在原树上进行DP的方法时间为O(nm)，但注意到sigma（m）并不大。所以有了虚树这个东西 =-=

构造一棵虚树，所谓虚树即包含了给定点，并收缩了不分叉边的连通子图（顺的kuangbin的定义）。

基于构树的dfs序，两遍for可以求出每个点被谁管辖，然后再虚树上进行节点的分配。

详见代码。

【代码】

 #include<map>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<vector>

 #include<algorithm>

 #define mp(x,y) make_pair(x,y)

 using namespace std;

 const int N = +;

 const int INF = 1e9+1e9;

 const int maxd = ;

 vector<int> G[N];

 int d[N],sz[N],dfn[N],f[N][maxd];

 int n,q,dfsc;

 int cmp(const int &lhs,const int &rhs) { return dfn[lhs]<dfn[rhs];

 }

 void dfs(int u,int fa) {

     dfn[u]=++dfsc;

     sz[u]=;

     for(int v,i=;i<G[u].size();i++) if((v=G[u][i])!=fa) {

         f[v][]=u;

         for(int j=;j<maxd;j++) f[v][j]=f[f[v][j-]][j-];

         d[v]=d[u]+;

         dfs(v,u);

         sz[u]+=sz[v];

     }

 }

 int LCA(int u,int v) {

     if(d[v]>d[u]) swap(u,v);

     for(int i=maxd-;i>=;i--)

         if(d[f[u][i]]>=d[v]) u=f[u][i];

     if(u==v) return u;

     for(int i=maxd-;i>=;i--)

         if(f[u][i]!=f[v][i]) u=f[u][i],v=f[v][i];

     return f[u][];

 }

 int find(int u,int dep) {

     for(int i=maxd-;i>=;i--)

         if(d[f[u][i]]>=dep) u=f[u][i];

     return u;

 }

 void solve() {

     int m,tot=,top=;

     //static 可以声明函数内大数组

     static int h[N],t[N],mem[N],st[N],val[N],father[N],w[N],ans[N];

     static pair<int,int> g[N];

     scanf("%d",&m);

     for(int i=;i<=m;i++) {

         scanf("%d",&h[i]);

         mem[i]=h[i];

         t[++tot]=h[i];

         g[h[i]]=mp(,h[i]);

         ans[h[i]]=;

     }

     sort(h+,h+m+,cmp);

     for(int i=;i<=m;i++) {

         if(!top) father[st[++top]=h[i]]=;

         else {

             int p=h[i],lca=LCA(p,st[top]);

             for(; d[lca]<d[st[top]];--top)

                 if(d[st[top-]]<=d[lca])

                     father[st[top]]=lca;

             if(st[top]!=lca) {

                 father[lca]=st[top];

                 t[++tot]=lca;

                 g[lca]=mp(INF,);

                 st[++top]=lca;

             }

             st[++top]=p;

             father[p]=lca;

         }

     }

     sort(t+,t+tot+,cmp);

     for(int i=;i<=tot;i++) {

         int p=t[i];

         val[p]=sz[p];

         if(i>) w[p]=d[p]-d[father[p]];        //路径长

     }

     //基于dfs序进行两次for 上下不同递推方向比较得最近点

     for(int i=tot;i>;i--) {

         int p=t[i] , fa=father[p];

         g[fa]=min(mp(g[p].first+w[p],g[p].second),g[fa]);     //g存储到p最近询问点的长度与编号

     }

     for(int i=;i<=tot;i++) {

         int p=t[i] , fa=father[p];

         g[p]=min(mp(g[fa].first+w[p],g[fa].second),g[p]);

     }

     for(int i=;i<=tot;i++) {

         int p=t[i],fa=father[p];

         if(i==) ans[g[p].second]+=n-sz[p];        //管辖虚树根节点的 += 原树中虚根上方的节点数

         else {

             int x=find(p,d[fa]+),sum=sz[x]-sz[p];

             val[fa]-=sz[x];

             if(g[fa].second==g[p].second) ans[g[p].second]+=sum;    // fa与p同是lca式而非询问点

             else {

                 int mid=d[p]-((g[fa].first+g[p].first+w[p])/-g[p].first);    //中点距

                 if((g[fa].first+g[p].first+w[p])%== && g[p].second>g[fa].second) ++mid;    //根据序号判断偏向于fa还是p

                 int y=sz[find(p,mid)]-sz[p];

                 ans[g[p].second] += y;            //fa与p分配管辖点

                 ans[g[fa].second] += sum-y;

             }

         }

     }

     for(int i=;i<=tot;i++)

         ans[g[t[i]].second] += val[t[i]];            //剩余未分配点

     for(int i=;i<=m;i++) printf("%d ",ans[mem[i]]); puts("");

 }

 int main() {

     scanf("%d",&n);

     int u,v;

     for(int i=;i<n-;i++) {

         scanf("%d%d",&u,&v);

         G[u].push_back(v) , G[v].push_back(u);

     }

     d[]=; dfs(,-);

     scanf("%d",&q);

     while(q--) solve();

     return ;

 }