Hetao P1156 最大战力 题解 [ 绿 ][ 二分 ][ 最大子段和 ]

最大战力

Vjudge 原题

题解

形式化题意

给定两个数组 \(a[n]\) 和 \(b[n]\) ，需要在数组 \(b\) 中选择一个区间 \(b[l,r]\) ，替换掉区间 \(a[l,r]\) ，并且使替换后的 \(a'\) 数组的中位数最大。其中 $ 1 \le n \le 3*10^5 $ ，且 \(n\) 为奇数。

概述

本题思维难度较大，需要将中位数的浮动转化为 \(-1\) 或 \(1\) 的贡献，然后求贡献的最大子段和。

但是直接这样做，可能会得到并不是最大的的中位数，因为如果我们选择对一个静态的区间计算贡献，则可能在有多个最大贡献的子段和的情况下（ 因为贡献的值只可能是 \(-1\) 或 \(1\) ），没有办法选择出 贡献与其他几个区间同样最大，但拥有这几个区间中最大的中位数的 区间。

因此，我们可以倒着来，在保证中位数合法的情况下，使中位数最大，而不是用贡献来直接确定最大中位数。这个过程需要二分中位数来实现。

总的时间复杂度为 \(O(n log n)\) 。

分析

二分

首先，要明确有奇数个元素的序列的中位数的求法。

1.把原数组排序，第 $ \frac{n+1}{2} $ 个元素就是中位数，时间 $ O(nlogn) $。

2.采用快速选择算法，即快速排序的简单应用，时间 $ O(n) $。

3.二分中位数，把 $\ge mid $ 的数标记为 \(1\) （ \(mid\) 表示中位数 ）， $< mid $ 的数标记为 \(-1\)。当所有标记总和 $ > 0$ 时，说明当前的 $mid \le $ 真实的中位数；当所有标记总和 $ \le 0$ 时，表示当前的 $mid > $ 真实的中位数。（ “当所有标记总和 $ \le 0$ 时，表示当前的 $mid > $ 真实的中位数”是因为中位数自身会被标记成 \(1\) ，且可能有多个中位数，所以选到中位数时总和一定 $ > 0$ 。 ），时间 $ O(nlogn)$ 。

可以注意到，对于 二分中位数 的做法，我们可以在二分时做一些手脚，对于当前二分的中位数 \(mid\) ，按前文所述来标记每个元素后，看看当前能否选出一个区间，能让这段区间替换原数组中的位置后使 替换后的中位数 变成合法的中位数，也就是说要让替换后的中位数最大 （因为最大中位数能选出来，那么比他小的中位数就一定能选出来）。

而判断一个中位数是否合法，就可以用前文中的标记总和的大小来判断。

这是二分答案题的基本套路。

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最大子段和

有了二分，那么接下来就该实现选择区间，使中位数最大的模块了。

下文中，我们记 \(a[N]\) 为原数组，\(b[N]\) 为要替换的数组，\(c[N]\) 为替换的贡献的数组。

首先可以发现，标记的功能可以看做是一个一个贡献，比当前二分的数 \(mid\) 小的数贡献 \(-1\) ，其他贡献 \(1\) ，也就是说，这些贡献的总和就是 \(\ge mid\) 的数的数量 与 \(< mid\) 的数的数量 的差 。

而修改的区间则也需要这样标记，因为它可能被替换进原数组中。

有了这些标记，我们就可以计算出替换一个数的贡献 \(c[i]=b[i]-a[i]\)。

因为改了一个数，如果原本它 $ \ge mid$ ，而替换后 \(< mid\) ，则 \(a[i]=1,b[i]=-1\) ，所以 \(c[i]=-2\) ，而修改后少了一个 $ \ge mid$ 的数，多了个 \(< mid\) 的数，故 \(\ge mid\) 的数 变少了一个， \(< mid\) 的数 变多了一个，因此 \(\ge mid\) 的数的数量 与 \(< mid\) 的数的数量 的差 变小了 \(2\) ，所以修改贡献 \(-2\) 是正确的。

如果原本它 $ < mid$ ，而替换后 \(\ge mid\) ，则也是同理，\(c[i]=2\) 。

但如果修改前和修改后相对中位数 \(mid\) 的大小不变，则 \(c[i]=0\) ，对中位数没有任何影响。

求完 \(c\) 数组后，只要用 dp 来求 \(c\) 数组的最大子段和，就能求出对中位数的最大贡献了，此时 原本的标记的和 加上现在修改的最大子段和，就是现在标记的总和。

最大子段和的做法是对每一个 \(c[i]\) ，求出 \(c[1,i]\) 中的最小前缀和，再被 \(c[i]\) 的前缀和减去，更新当前最大子段和即可。并且开始时前缀和要设为 \(0\) ，最大子段和也要设为 \(0\) 。

注意，最大子段和在所有元素为负数时，会选择空区间，修改贡献总和为 \(0\) ，恰好对应本题中不替换任何元素的情况。

常见问题

Q1 : 修改一个数后，如果它的中位数变化了，那么之前的标记是否会失效？

A1 : 不会失效。

对于修改一个区间 \([l,r]\) ，可以把其看做 以任何顺序修改这些元素皆可，因此，只要从小到大修改这些元素，那么中位数就会不断变大，且中位数最大只可能是当前修改的这个元素，所以后面的数依旧比中位数要大，之前的标记不会失效。

因此，修改一个区间 \([l,r]\) ，无论什么顺序来修改最终的中位数都是固定的，所以代码中不用写这个功能。

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Q2 : 能否在一个元素 \(=\) 中位数时把它标记成 \(0\) ?

A2: 不能。

hack: 1 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 4 , 5

___________________↑ ___________________

这时候有多个中位数，如果标记成 \(0\) ，那么相当于中位数全部被抵消，这时候即使选到了中位数，那么贡献总和也是 \(-1\) ，而正常情况下 贡献总和应该 $ \ge 1$ ，所以错误。

坑点

本题二分答案时 \(l\) 和 \(r\) 最大为 \(2*10^9\) ，此时它们相加求 \(mid\) 时会爆 int ，所以要开 long long 。

十年OI一场空，不开long long见祖宗

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[300005],b[300005],c[300005];
int check(int mid)
{
	int res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(a[i]>=mid)res++;
		else res--;
                //这里省略了标记 a[i] b[i] 的步骤，直接赋 c[i] 的值
		if(a[i]>=mid && b[i]>=mid)c[i]=0;
		else if(a[i]>=mid && b[i]<mid)c[i]=-2;
		else if(a[i]<mid && b[i]>=mid)c[i]=2;
		else c[i]=0;
	}
	int minres=0,sumn=0,maxres=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		sumn+=c[i];
		maxres=max(sumn-minres,maxres);
		minres=min(minres,sumn);
	}
	return res+maxres;
}
int main()
{
    freopen("yone.in","r",stdin);
    freopen("yone.out","w",stdout);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i]>>b[i];
	}
	long long l=0,r=2e9+10,mid;
	while(l<r)
	{
		mid=((l+r+1)>>1);//l+r加到最大时会爆int
		if(check(mid)>=0)l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	cout<<l;
	return 0;
}