「雅礼集训 2017 Day1」 解题报告

「雅礼集训 2017 Day1」市场

挺神仙的一题。涉及区间加、区间除、区间最小值和区间和。虽然标算就是暴力，但是复杂度是有保证的。

我们知道如果线段树上的一个结点，\(max=min\) 或者 \(max=min+1\) 并且 \(d|max\)，是可以直接剪掉的。

我们定义线段树上一个结点的势能为 \(\log(max-min)\)，那么我们每执行一次区间除，都会引起势能的减小。

但是执行区间加时我们涉及 \(\log n\) 个结点，最差情况下会将它们的势能恢复为 \(\log(max-min)\)

所以总时间复杂度就是势能总和，不难分析为 \(O(n\log d+q\log n\log d)\)

类似的，我们可以分析区间开根区间加的时间复杂度，在此就不赘述了。

\(Code\ Below:\)

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define int long long
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
const int inf=1e18;
int n,m,a[maxn],sum[maxn<<2],Max[maxn<<2],Min[maxn<<2],add[maxn<<2];

inline int read(){
	register int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return (f==1)?x:-x;
}

inline void pushup(int rt){
	sum[rt]=sum[lson]+sum[rson];
	Max[rt]=max(Max[lson],Max[rson]);
	Min[rt]=min(Min[lson],Min[rson]);
}

inline void pushtag(int rt,int C,int len){
	sum[rt]+=C*len;
	Max[rt]+=C;Min[rt]+=C;add[rt]+=C;
}

inline void pushdown(int rt,int len){
	if(add[rt]){
		pushtag(lson,add[rt],len-(len>>1));
		pushtag(rson,add[rt],len>>1);
		add[rt]=0;
	}
}

void build(int l,int r,int rt){
	if(l == r){
		sum[rt]=Max[rt]=Min[rt]=a[l];
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(l,mid,lson);
	build(mid+1,r,rson);
	pushup(rt);
}

void update_plu(int L,int R,int C,int l,int r,int rt){
	if(L <= l && r <= R){
		sum[rt]+=(r-l+1)*C;
		Max[rt]+=C;Min[rt]+=C;add[rt]+=C;
		return ;
	}
	pushdown(rt,r-l+1);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L <= mid) update_plu(L,R,C,l,mid,lson);
	if(R > mid) update_plu(L,R,C,mid+1,r,rson);
	pushup(rt);
}

void update_div(int L,int R,int C,int l,int r,int rt){
	if(L <= l && r <= R){
		int A,B;
		if(Max[rt]<0) A=(Max[rt]-C+1)/C;
		else A=Max[rt]/C;
		if(Min[rt]<0) B=(Min[rt]-C+1)/C;
		else B=Min[rt]/C;
		if(Max[rt]-A==Min[rt]-B){
			pushtag(rt,A-Max[rt],r-l+1);
			return ;
		}
	}
	pushdown(rt,r-l+1);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L <= mid) update_div(L,R,C,l,mid,lson);
	if(R > mid) update_div(L,R,C,mid+1,r,rson);
	pushup(rt);
}

int query_min(int L,int R,int l,int r,int rt){
	if(L <= l && r <= R){
		return Min[rt];
	}
	pushdown(rt,r-l+1);
	int mid=(l+r)>>1,ans=inf;
	if(L <= mid) ans=min(ans,query_min(L,R,l,mid,lson));
	if(R > mid) ans=min(ans,query_min(L,R,mid+1,r,rson));
	return ans;
}

int query_sum(int L,int R,int l,int r,int rt){
	if(L <= l && r <= R){
		return sum[rt];
	}
	pushdown(rt,r-l+1);
	int mid=(l+r)>>1,ans=0;
	if(L <= mid) ans+=query_sum(L,R,l,mid,lson);
	if(R > mid) ans+=query_sum(L,R,mid+1,r,rson);
	return ans;
}

signed main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	build(1,n,1);
	int op,l,r,k;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		op=read(),l=read(),r=read();l++;r++;
		if(op==1) k=read(),update_plu(l,r,k,1,n,1);
		if(op==2) k=read(),update_div(l,r,k,1,n,1);
		if(op==3) printf("%lld\n",query_min(l,r,1,n,1));
		if(op==4) printf("%lld\n",query_sum(l,r,1,n,1));
	}
	return 0;
}

「雅礼集训 2017 Day1」矩阵

构造题。

发现无解的情况就是全空的情况，特判掉即可。

现在考虑怎么算出最少步数。

发现只要第 \(i\) 行有黑色，那么第 \(i\) 列会在 \(tot_{white}\) 步变成全黑，所以我们来构造一行全黑的，然后将整个棋盘染成黑色。

那么每行取个最小值即可，累加一下。

\(Code\ Below:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1000+10;
int n,m,h[maxn],l[maxn],ans,sum;
char s[maxn][maxn];

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int flag=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%s",s[i]+1);
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(s[i][j]=='#'){
				flag=1;
				h[i]++;l[j]++;
			}
	}
	if(!flag){
		printf("-1\n");
		return 0;
	}
	ans=n;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,n-h[i]+!l[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) sum+=l[i]!=n;
	printf("%d\n",ans+sum);
	return 0;
}