[BZOJ2687]交与并[决策单调性]

题意

给定 \(n\) 个区间，我们定义区间集合 \(S(|S|>1)\) 的权值为 区间交 \(\times\) 区间并，找出权值最大的区间集合。

\(n\le 10^6\)

分析

• 首先排除区间包含的情况，但是注意存在特殊情况：答案是两个区间，其中一个区间被另一个包含。

• 排除之后的区间左右端点都递增，我们的答案一定是一段连续的区间，记最左最右的区间为 \(i,j\) ，容易得到

  \[ans=(R_j-L_i)\times(R_i-L_j)\]

  将式子拆开：

  \[ans=R_iR_j+L_iL_j-L_iR_i-L_jR_j\]

  将 \(L_iR_i\) 看做转移函数 \(g\) ，\(R_iR_j\) 是关于 \(i,j\) 的二元函数 \(s\) ( \(L_iL_j\) 同理)。容易证明 \(s\) 满足四边形不等式：

假设四个区间 \(a<b<c<d​\) (因为左右端点都单增所以可以如此判断)，首先假设不满足决策单调，那么有

\[\begin{cases}g(a)+s(a,c)<g(b)+s(b,c) \\ g(a)+s(a,d)>g(b)+s(b,d)\end{cases}\]

移项之后容易得到：

\[s(b,c)-s(a,c)>s(b,d)-s(a,d)\]

\[R_c(R_b-R_a)>R_d(R_b-R_a)\]

由于 \(R\) 递增，上式显然不成立。

所以决策单调。

• 然后套个单调队列的板子就没了。
• 总时间复杂度 \(O(nlogn)\)

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