DNA解链统计物理

来源：Kerson Huang, Lectures on Statistical Physics and Protein Folding, pp 24-25

把双链DNA解开就像拉拉链。设DNA有\(N\)个链环（link），每个链环有两种状态：闭合着或打开着，后一种状态比前一种状态的能量高\(\Delta\)。打开的链环连续地排在一起，闭合的链环连续地排在一起，如下图所示。由于热涨落，链环会自发闭合或打开。问：打开的链环平均有多少？

DNA的拉链模型

DNA的可能状态用打开的链环数目标记，\(n=0,1,2,\cdots,N\)。具有\(n\)个打开的链环的DNA的能量为\(E_n=n\Delta\)。配分函数为

\begin{equation*}Q_N=\sum_{n=0}^N e^{-\beta n\Delta}=\frac{1-e^{-\beta (N+1)\Delta}}{1-e^{-\beta \Delta}}\end{equation*}

上式用到等比数列求和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)。

打开的链环的平均数为：

\begin{equation*}\begin{split}\overline n=&\frac{\sum_{n=0}^N ne^{-\beta n\Delta}}{\sum_{n=0}^N e^{-\beta n\Delta}}=-\frac{1}{\Delta}\frac{\partial \ln Q_N}{\partial \beta}\\=&\frac{e^{-\beta \Delta}}{1-e^{-\beta \Delta}}-\frac{(N+1)e^{-\beta (N+1)\Delta}}{1-e^{-\beta (N+1) \Delta}}\end{split}\end{equation*}

低温极限下，\(\beta \Delta\gg 1\)，打开的链环很少：

\begin{equation*}\overline n\approx e^{-\beta \Delta}\end{equation*}

高温极限下，\(\beta \Delta\ll 1\)，几乎所有的链环都是打开的：

\begin{equation*}\overline n\approx n\end{equation*}