AVL树

二叉查找树(BST)中,频繁的插入操作可能会让树的性能发生退化,因此,需要加入一些平衡操作,使树的高度达到理想的O(logn),这就是AVL树出现的背景。注意,AVL树的起名来源于两个发明者:Adel'son-Vel'skii 和 Landis。

AVL树除了具备BST树的基本特征之外,还具有一个非常重要的特点:

如果将一个节点的左、右子树的高度差定义为该节点的平衡因子,则AVL树的任意一个节点的平衡因子只有0、-1、1 三种取值。

可以采用递归的方法来判断一个BST树是不是AVL树:

typedef struct _pnode
{
int data;
int height;
struct _pnode *left;
struct _pnode *right;
} pnode; static int TreeDepth (pnode p)
{
if (!p) return ; int nLeft = TreeDepth(p->left);
int nRight = TreeDepth(p->right); return (nLeft > nRight) ? (nLeft+) : (nRight+);
} static int IsBalanced(pnode root)
{
if (NULL == root)
return ; int left = TreeDepth(root->left);
int right = TreeDepth(root->right); int diff = left - right; if (diff > || diff < -) {
return ;
} return IsBalanced(root->left) && IsBalanced(root->right);
}

递归法的代码虽然简洁,但同一个结点会被重复遍历多次,因此效率并不高。

用后序遍历的方式遍历二叉树的每一个结点,在遍历到一个结点之前我们已经遍历了它的左右子树。
只要在遍历每个结点的同时记录它的深度,就可以一边遍历一边判断每个结点是否平衡。

static int IsBalanced2(pnode root, int* pDepth)
{
int left, right; if (root == NULL) {
*pDepth = ;
return ;
} if (IsBalanced2(root->left, &left)
&& IsBalanced2(root->right, &right)) { int diff = left - right;
if (diff <= && diff >= -) {
*pDepth = + (left > right ? left : right);
return ;
}
} return ;
}

那么,AVL树是如何保证其平衡呢?当插入一个节点时,首先检查是否因插入而破坏了平衡,若破坏,则找出其中的最小不平衡子树,在保持二叉排序树特性的情况下,调整最小不平衡子树中节点之间的关系(通过左旋转和右旋转实现),以达到新的平衡。

注意:最小不平衡子树指离插入节点最近且以平衡因子的绝对值大于1的节点作为根的子树。


树的旋转

有四种情况可能导致二叉查找树不平衡,分别为:

  • LL: 插入一个新节点到根节点的左子树(Left)的左子树(Left),导致根节点的平衡因子由1变为2
  • LR:插入一个新节点到根节点的左子树(Left)的右子树(Right),导致根节点的平衡因子由1变为2
  • RL:插入一个新节点到根节点的右子树(Right)的左子树(Left),导致根节点的平衡因子由-1变为-2
  • RR:插入一个新节点到根节点的右子树(Right)的右子树(Right),导致根节点的平衡因子由-1变为-2
 
如下图,是四种不平衡的情况:
 
1和4两种情况是对称的,这两种情况的旋转算法是一致的,只需要经过一次旋转就可以达到目标,我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的,这两种情况的旋转算法也是一致的,需要进行两次旋转,我们称之为双旋转。
 
单旋转是针对于LL和RR这两种情况的解决方案,这两种情况是对称的,只要解决了LL这种情况,RR就很好办了。
下图是LL情况的解决方案,节点k2不满足平衡特性,因为它的左子树k1比右子树Z深2层,而且k1子树中,更深的一层的是k1的左子树X子树,所以属于LL情况。
 
为使树恢复平衡,我们把k2变成这棵树的根节点,因为k2大于k1,把k2置于k1的右子树上,而原本在k1右子树的Y大于k1,小于k2,就把Y置于k2的左子树上,这样既满足了二叉查找树的性质,又满足了平衡二叉树的性质。
这样的操作只需要一部分指针改变,结果我们得到另外一颗二叉查找树,它是一棵AVL树,因为X向上一移动了一层,Y还停留在原来的层面上,Z向下移动了一层。整棵树的新高度和之前没有在左子树上插入的高度相同,插入操作使得X高度长高了。因此,由于这颗子树高度没有变化,所以通往根节点的路径就不需要继续旋转了。
 
LL单旋转:
void SingRotateLeft(pnode* &k2)
{
pnode *k1; k1 = k2->left;
k2->left = k1->right;
k1->right = k2; k2->height = Max(TreeDepth(k2->left), TreeDepth(k2->right)) + ;
k1->height = Max(TreeDepth(k1->left), k2->height) + ;
}

RR单旋转类似,

 
void SingRotateRight(pnode* &k2)
{
pnode *k1; k1 = k2->right;
k2->right = k1->left;
k1->left = k2; k2->height = Max(TreeDepth(k2->left), TreeDepth(k2->right))+;
k1->height = Max(TreeDepth(k1->right), k2->height)+;
}
~
 
对于LR和RL这两种情况,单旋转不能使它达到一个平衡状态,要经过两次旋转。双旋转是针对于这两种情况的解决方案,同样的,这样两种情况也是对称的,只要解决了LR这种情况,RL就很好办了。
下图是LR情况的解决方案,节点k3不满足平衡特性,因为它的左子树k1比右子树Z深2层,而且k1子树中,更深的一层的是k1的右子树k2子树,所以属于LR情况。
 
 
第一次旋转是围绕"k1"进行的"RR旋转",第二次是围绕"k3"进行的"LL旋转"。
LR的旋转代码
void DoubleRotateLR(pnode* &k3)
{
SingRotateRight(k3->left);
SingRotateLeft(k3);
}

RL也是类似的,

void DoubleRotateRL(pnode* &k3)
{
SingRotateLeft(k3->right);
SingRotateRight(k3);
}

插入

插入的方法和二叉查找树基本一样,区别是,插入完成后需要从插入的节点开始维护一个到根节点的路径,每经过一个节点都要维持树的平衡。维持树的平衡要根据高度差的特点选择不同的旋转算法。

void insert(pnode* &node, int key)
{
// 如果节点为空,就在此节点处加入key信息
if (node == NULL) {
node = (pnode*) malloc(sizeof(pnode));
memset(node, , sizeof(pnode));
node->data = key; // 如果key小于节点的值,就继续在节点的左子树中插入key
} else if (node->data > key) { insert(node->left, key); // 如果高度之差为2的话就失去了平衡,需要旋转
if ( == TreeDepth(node->left) - TreeDepth(node->right)) { if (key < node->left->data) {
SingRotateLeft(node); } else {
DoubleRotateLR(node);
}
} //如果key大于节点的值,就继续在节点的右子树中插入key
} else if (node->data < key) { insert(node->right, key); if ( == TreeDepth(node->right)-TreeDepth(node->left)) { if (key > node->right->data) {
SingRotateRight(node); } else {
DoubleRotateRL(node);
}
} } else {
// 如果相等
printf("error: key depulicated!");
} node->height = Max(TreeDepth(node->left), TreeDepth(node->right)) + ;
}

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