【LeetCode】343. Integer Break 解题报告（Python & C++）

作者：负雪明烛
id： fuxuemingzhu
个人博客： http://fuxuemingzhu.cn/

题目描述

Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.

Example 1:

Input: 2

Output: 1

Explanation: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1.

Example 2:

Input: 10

Output: 36

Explanation: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36.

Note: You may assume that n is not less than 2 and not larger than 58.

题目大意

一个整数可以拆分成几个较小的整数之和。求如何拆分才能使这几个较小的整数乘积最大。

解题方法

数学解法

也是一个扔了几个月的题目。有时候会发现，扔了很久的题目，不是太难，而是方法比较少见，其实很简单的罢了。

这个题，我是看了[LeetCode] Integer Break 整数拆分才懂的。下面把分析引用如下：

这道题给了我们一个正整数n，让我们拆分成至少两个正整数之和，使其乘积最大，题目提示中让我们用O(n)来解题，而且告诉我们找7到10之间的规律，那么我们一点一点的来分析：

正整数从1开始，但是1不能拆分成两个正整数之和，所以不能当输出。

那么2只能拆成1+1，所以乘积也为1。

数字3可以拆分成2+1或1+1+1，显然第一种拆分方法乘积大为2。

数字4拆成2+2，乘积最大，为4。

数字5拆成3+2，乘积最大，为6。

数字6拆成3+3，乘积最大，为9。

数字7拆为3+4，乘积最大，为12。

数字8拆为3+3+2，乘积最大，为18。

数字9拆为3+3+3，乘积最大，为27。

数字10拆为3+3+4，乘积最大，为36。

…

那么通过观察上面的规律，我们可以看出从5开始，数字都需要先拆出所有的3，一直拆到剩下一个数为2或者4，因为剩4就不用再拆了，拆成两个2和不拆没有意义，而且4不能拆出一个3剩一个1，这样会比拆成2+2的乘积小。那么这样我们就可以写代码了，先预处理n为2和3的情况，然后先将结果res初始化为1，然后当n大于4开始循环，我们结果自乘3，n自减3，根据之前的分析，当跳出循环时，n只能是2或者4，再乘以res返回即可。

我试着证明一下：

当m,n>=2时，有m * n >= m + n。所以把一个整数(m+n)拆开成较小整数（m,n>=2）之后的乘积(m*n)会比原整数(m+n)更大。由归纳法，当拆开的较小整数(m,n)>=4或5时，可以把大于等于4,5的整数拆成更小的整数2和3从而得到不小于4，5的乘积。总之，把任意整数拆成若干2和3的和，此时得到的乘积是最大的。

这里需要说明任意大于等于2的正整数N都能拆解成2x + 3y，其中x,y属于自然数。 2x + 3y = 2*(x + y) + y。由这个式子可知，当y = 1时，该式子能表示出所有>=3的奇数；当y = 0时，该式子能表示出所有>=2的偶数。因此N = 2x+3y至少有一组解。

下面需要求解的是N = 2x + 3y时，如何分配x,y才能使得target = 2^x * 3^y是最大的。

首先有y = (N - 2 * x)/3，优化的目标函数两边同时取对数得，log(target) = xlog2 + ylog3.

⇒ log(target) = x * log2 + ((N - 2 * x) / 3) * log3
⇒ x * log2 + (N/3) * log3 - (2x/3) * log3
⇒ (log2 - 2/3 * log3) * x + N/3 * log3
⇒ -0.017 * x + N/3 * log3

由于要优化的log(target)是递增函数，而右式是个递减函数，所以当x越小，则log(target)越大。

综上可知，我们应该把n拆成若干2和3的和，其中2的个数尽可能少，3的个数尽可能多。得到的所有2和3的乘积就是最大乘积。

python代码如下：

class Solution:

    def integerBreak(self, n):

        """

        :type n: int

        :rtype: int

        """

        if n == 2: return 1

        if n == 3: return 2

        res = 1

        while n > 4:

            res *= 3

            n -= 3

        return res * n

C++代码如下：

class Solution {

public:

    int integerBreak(int n) {

        if (n == 2) return 1;

        if (n == 3) return 2;

        int res = 1;

        while (n > 4) {

            res *= 3;

            n -= 3;

        }

        return res * n;

    }

};

动态规划

这个题的动态规划公式是dp[i] = dp[i - 3] * 3，当n >= 7时成立。

class Solution(object):

    def integerBreak(self, n):

        """

        :type n: int

        :rtype: int

        """

        dp = [0, 0, 1, 2, 4, 6, 9]

        for i in range(7, n + 1):

            dp.append(dp[i - 3] * 3)

        return dp[n]

日期

2018 年 5 月 28 日 —— 太阳真的像日光灯～
2019 年 1 月 24 日 —— 快要回家了