AT1445 乱数生成 题解

Description

有一个机器会等概率从 \(1\) 到 \(n\) 的正整数中选出一个整数。显然地，这个机器运行 \(3\) 次后会得到 \(3\) 个整数。求这 \(3\) 个整数的中位数是 \(k\) 的概率。

数据范围：\(1\leqslant k\leqslant n\leqslant 10^6\)。

Solution

发现自己快到 CSP 了完全不会概率，于是随便在 AtCoder 上面找了个题玩玩。

首先我们发现，由于选取的整数个数为奇数，那么要想这 \(3\) 个数为 \(k\)，选取的三个数中至少应该有一个数是 \(k\)。

我们不妨设所选的 \(3\) 个正整数为 \(a,b,c\)，然后对 \(a,b,c\) 的取值情况进行分类讨论。以下设 \(p\) 为任意不等于 \(k\) 的正整数。

1. \(a=b=c=k\)。
   
   显然，只有一种情况能够满足这个要求。

2. \(a,b,c\) 中恰好有 \(2\) 个整数为 \(k\)。
   
   显然，从其余的 \(n-1\) 个正整数中选出一个数都能够满足这类条件。然后考虑一般的情况，由于不同的排列有 \((k,k,p)\)，\((k,p,k)\) 和 \((p,k,k)\) 三种，因此这类下一共有 \(3(n-1)=3n-3\) 种情况。

3. \(a,b,c\) 中恰好有 \(1\) 个整数为 \(k\)。
   
   另外一个数要么是在 \([1,k-1]\) 中（也就是有 \(k-1\) 种不同的取值情况），要么是在 \([k+1,n]\) 中（也就是有 \(n-k\) 种不同的取值情况）。又由于不同的排列一共有 \((k,p_1,p_2)\)，\((k,p_2,p_1)\)，\((p_1,k,p_2)\)，\((p_2,k,p_1)\)，\((p_1,p_2,k)\) 和 \((p_2,p_1,k)\) \(6\) 种，因此这类下一共有 \(6(k-1)(n-k)=6nk-6k^2-6n+6k\) 种情况。

把上面这三类整合在一起，因此一共有 \(6nk-6k^2-6n+6k+3n-3+1=6nk-6k^2-3n+6k-2\) 种情况。又因为所有不同的情况一共有 \(n^3\) 种。因此概率为：

\[\dfrac{6nk-6k^2-3n+6k-2}{n^3}
\]

注意在代码实现中，由于允许的误差很小，答案需要用 long double 储存以保证精度。

代码就不贴了。