【算法学习】【洛谷】cdq分治 & P3810 三维偏序

cdq是何许人也？请参看这篇：https://wenku.baidu.com/view/3b913556fd0a79563d1e7245.html。

在这篇论文中，cdq提出了对修改/询问型问题(Modify-Query问题)的分治做法，下面来具体讨论一下：

我们将修改/询问看作在时间轴上的一系列元素，把修改和询问统称为“操作”，并用记号\([l,r]\)表示第\(l\)个操作到第\(r\)个操作的序列。

在时间轴上进行的操作，众所周知有这样的特性：时间早的会影响时间晚的，而反过来不会，这就是cdq分治的本质：用前面的修改更新后面的答案。

假设我们要计算一段长为\(m\)的区间\([l,r]\)的答案，考虑计算\([l,mid]\)和\([mid+1,r]\)，最终将两段区间合并，其中\(mid=\left\lfloor\frac{l+r}{2}\right\rfloor\)。

这里，\([l,r]\)的答案，指的就是，单纯的\([l,r]\)的答案。不考虑更早的操作对\([l,r]\)的影响。

这样的做法是否似曾相识？典型的分治—合并的思路，就出现在最稳定的排序方法——归并排序上。

其时间复杂度为\(T(1)=\Theta(1), T(n)=2T(\frac{n}{2})+\Theta(n)=\Theta(n\,log\,n)\)，其中合并区间的复杂度为\(\Theta(n)\)。

提出这个例子只是为了回忆起对分治感觉和思路。

看一道例题，方便讲解：（这题就是论文中的题目）

给你\(q\)个操作：①插入一个点\((x,y)\)，②询问当前所有的点中，满足\(x_i\leq x,y_i\leq y\)的点\(x_i,y_i\)的个数（\(1\leq q,x,y\leq 100000\)）。

我们采用cdq分治的方法，将这些操作按照时间顺序分治。

假设我们要获取\([l,r]\)的答案，而我们已经对\([l,mid],[mid+1,r]\)进行了递归处理，这时我们需要处理出完整的答案。

就像归并排序的过程一样，左边的区间和右边的区间都自己处理好自己的答案了，可是整个区间的答案仍没有完全算出，这是因为没有考虑左边区间对右边区间的影响。

在本题中，“影响”就是\([l,mid]\)中插入的点，会被统计到\([mid+1,r]\)中去。

这时，发现（可以造成影响的）左侧只有修改，右侧只有询问，考虑将修改和询问都按照他们的\(x_i\)为第一关键字，\(y_i\)为第二关键字，修改优先，查询后置为第三关键字排序，放到树状数组里去处理。

因为不需要考虑时间的顺序了，所以这很容易就能做到。

时间复杂度统计：\(T(1)=\Theta(1),T(n)=2T(\frac{n}{2})+\Theta(n\,log\,y)=\Theta(n\,log\,n\,log\,y)\)。

分析：使用cdq分治，我们将有时间顺序的操作转换成修改在前，询问在后的操作，相当于把问题简单化，“去时间化”了。

更深入地说，对于这样一个问题：初始时有一些三维点\((x_i,y_i,z_i)\)，只需要查询满足\(x_i\leq x,y_i\leq y,z_i\leq z\)的点\(x_i,y_i,z_i\)的个数。

这看似和上一题相比，多了一维，但是若我们将所有的点和查询按照\(z_i,x_i,y_i,\)修改-查询依次为关键字排序，再把\(z\)坐标扔掉，这不就把空间上的维度转化成时间轴上的顺序了吗？所以这题本质上和上一题相同，可以用同样的算法解决。

这题就是洛谷的P3810 三维偏序，我的代码如下：

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 struct ww{int x,y,z,w,I;}a[],tmp[];
 inline bool cmp1(ww p1,ww p2){return p1.x==p2.x?(p1.y==p2.y?p1.z<p2.z:p1.y<p2.y):p1.x<p2.x;}
 int n,nn,k,bit[],ans[],Ans[];
 inline void Ins(int i,int x){for(;i<=k;bit[i]+=x,i+=i&-i);}
 inline int Qur(int i){int sum=;for(;i;sum+=bit[i],i-=i&-i);return sum;}
 void cdq(int l,int r){
     if(l==r) return;
     int mid=(l+r)>>;
     cdq(l,mid); cdq(mid+,r);
     for(int i=l,lf=l,rt=mid+;lf<=mid||rt<=r;++i){
         if((lf<=mid&&rt>r)||(lf<=mid&&rt<=r&&a[lf].y<=a[rt].y)) Ins(a[lf].z,a[lf].w), tmp[i]=a[lf], ++lf;
         else Ans[a[rt].I]+=Qur(a[rt].z), tmp[i]=a[rt], ++rt;
     }
     for(int i=l;i<=mid;++i) Ins(a[i].z,-a[i].w);
     for(int i=l;i<=r;++i) a[i]=tmp[i];
 }
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&k);
     for(int i=;i<=n;++i) scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z);
     std::sort(a+,a+n+,cmp1);
     for(int i=;i<=n;++i) if(a[i].x!=a[i-].x||a[i].y!=a[i-].y||a[i].z!=a[i-].z) a[++nn]=a[i], a[nn].w=, a[nn].I=nn; else ++a[nn].w;
     cdq(,nn);
     for(int i=;i<=nn;++i) ans[Ans[a[i].I]+a[i].w-]+=a[i].w;
     for(int i=;i<n;++i) printf("%d\n",ans[i]);
     return ;
 }

偏序其实就是两个元素的值都对应地大(小)(等)于的关系，有时间顺序的问题也可以通过记时间标记转化成偏序问题，上面的两道题就是偏序问题。

数据结构（树状数组，线段树，平衡树等）通常可以处理较低维的偏序问题，而cdq分治则是处理偏序问题的利器。

把偏序问题中的某一维排序变为时间轴，在这时间轴之上分治处理，在合并时，就巧妙地将修改和查询分离开来，成为两个不相交的部分，没有了时间顺序的困扰，解决自然变得容易。

若是更高维的偏序，转化后仍不能处理的，我们可以将转化后的（没有时间顺序的）操作序列再排序，分离出时间轴来，对之下的在进行一次cdq分治，即cdq套cdq。

这样做，思维难度、代码复杂度以及调试难度都有所提升，但cdq分治本质上熟练了就很好写了，应该要多多益善地练习相关题目。

运用cdq的注意事项：所有的修改和查询都必须是已知的，即cdq是离线算法，对于强制在线的题目，就要另寻他法了。

cdq分治的应用不止于此，还有许多问题，运用相似的思想——分治，也能获得简便的解决，在此就不一一列举了。

更多例题：P4093 [HEOI2016/TJOI2016]序列