【模板】最长上升子序列(LIS)及其优化 & 洛谷 AT2827 LIS

最长上升子序列

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传送门

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题意

　　对于给定的一个n个数的序列，找到它的一个最长的子序列，并且保证这个子序列是由低到高排序的。

例如，1 6 2 5 4 6 8的最长上升子序列为1 2 4 6 8。

基本思路

　　非常显然，这类题用dp求解。 dp[i]表示已i为结尾的最长上升子序列的长度，首先枚举每一个末尾i，然后枚举从1到i-1，如果a[1...i-1]<a[i]说明满足上升子序列，就加上一后取max。

　　附上代码。

 //LIS O(n^2)
 #include<iostream>
 using namespace std;
 int dp[],a[],n,maxx=-;
 int main(){
     cin>>n;
     for(int i=;i<=n;i++) cin>>a[i],dp[i]=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         for(int j=;j<i;j++){
             if(a[i]>a[j]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+);//如果后面的大于前面的，就取较大的值。
         }
         maxx=max(maxx,dp[i]);                    //每次更新最大值
     }
     cout<<maxx;
     return ;
 }

O(n^2)代码

优化

//咕了八个半月的优化。。。。

方法是把dp表示的意义倒过来：dp[i]表示长度为i的最长上升子序列的结尾元素最小是什么。

很显然，dp数组一定是单调递增的。

这时，对于每一个a[i]，我们做出判断：

• 当a[i]比当前最长的序列的最后一个数字还大，那么长度++；
• 否则就二分查找dp数组中第一个>=a[i]的数值，并把它改为a[i]。

为什么呢？

因为这第一个大于等于a[i]的数的前一个数是最后一个小于a[i]的数，然后a[i]这个数就可以接到那个数的后面，又因为我们要保存的是最小值，就更新为a[i]。

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int maxn=;
 int n,dp[maxn],a[maxn],len;
 int main()
 {
     cin>>n;
     for(int i=;i<=n;i++) cin>>a[i];
     for(int i=;i<=n;i++){
         if(a[i]>dp[len]) dp[++len]=a[i];
         else{
             dp[lower_bound(dp+,dp+len+,a[i])-dp]=a[i];
         }
     }
     cout<<len;
     return ;
 }

O(nlogn)代码