CodeForces 97 E. Leaders（点双连通分量 + 倍增）

题意

给你一个有 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，有 \(q\) 次询问，每次询问两个点 \(u, v\) 之间是否存在长度为奇数的简单路径。

\(1 \le n, m, q \le 10^5\)

题解

显然我们可以对于每个联通块单独处理，如果 \(u, v\) 不联通显然就不存在这条路。

然后对于每个联通块，首先随便弄一颗生成树。

1. 如果这 \(u \to v\) 在树上的路径长就为奇数，显然是可以的，这个可以预处理深度就行了。
2. 否则，\(u \to v\) 在树上的路径的边，只要存在一条边属于一个奇环就行了。

然后我们只要求出每条边是否属于一个奇环就行了。

单是求环的话，我们显然可以用求点双联通分量的方法来求的，求奇环需要用到下面的一个性质。

一个点双连通分量中要么每条边都在至少一个奇环上, 要么没有奇环.

这个证明是很显然的，可以自己手动画图理解。这个性质可以记住，到时候或许有用。

所以如果点双中存在一条边属于奇环，那么所有边都是在奇环上。

判断奇环可以直接判这个点连的两条边奇偶性是否相同，如果相同那么就是奇环了。

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然后我们需要查询两个点的路径上是否存在一条边属于奇环，这个可以直接用树上差分做。

然后对于之前记一条边是否在奇环上，需要把这个点双中除了点双中最上面的那个点 \(u\) 全部标成 \(1\) 。

也就是我们都标到儿子上就行了。

实现起来就是 (cnt[u] + cnt[v] - 2 * cnt[Get_Lca(u, v)]) > 0 ，cnt 为到根路径上标号的前缀和，用倍增求 Lca 就行了。

总结

多找性质，多思考，多记性质。

代码

具体实现看代码就行啦qwq 注意此处点双要存边才行，还要注意一些小细节。

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define fir first
#define sec second
#define mp make_pair

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
    return x * fh;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("E.in", "r", stdin);
	freopen ("E.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 1e5 + 1e3, M = N << 1;

int n, m, Logn;

int anc[N][20], dep[N];
vector<int> G[N]; bitset<N> vis1, vis2; int id[N], version;
void Dfs_Init(int u, int fa = 0) {
	id[u] = version; vis1[u] = true; dep[u] = dep[anc[u][0] = fa] + 1;
	For (i, 1, Logn) anc[u][i] = anc[anc[u][i - 1]][i - 1];
	for (int v : G[u]) if (!vis1[v]) Dfs_Init(v, u);
}

int dfn[N], lowlink[N], cnt[N];
PII sta[M]; int top = 0;
void Tarjan(int u, int fa = 0) {
	static int clk = 0;
	dfn[u] = lowlink[u] = ++ clk;

	for (int v : G[u]) if (v != fa && dfn[v] < dfn[u]) {
		sta[++ top] = mp(u, v);
		if (!dfn[v]) {
			Tarjan(v, u);
			chkmin(lowlink[u], lowlink[v]);
			if (lowlink[v] >= dfn[u]) {
				int tmp = top, x, y, flag = 0;
				do {
					x = sta[top].fir; y = sta[top --].sec;
					if ((dep[x] & 1) == (dep[y] & 1)) { flag = 1; break; }
				} while (!(x == u && y == v));
				if (!flag) continue ;
				top = tmp;
				do {
					x = sta[top].fir; y = sta[top --].sec;
					cnt[x] = cnt[y] = 1;
				} while (!(x == u && y == v));
				cnt[u] = 0;
			}
		} else chkmin(lowlink[u], dfn[v]);
	}
}

void Dfs_Calc(int u, int fa = 0) {
	cnt[u] += cnt[fa]; vis2[u] = true;
	for (int v : G[u]) if (!vis2[v]) Dfs_Calc(v, u);
}

inline int Get_Lca(int x, int y) {
	if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
	Fordown (i, Logn, 0)
		if (dep[anc[x][i]] >= dep[y]) x = anc[x][i];
	if (x == y) return x;
	Fordown (i, Logn, 0)
		if (anc[x][i] != anc[y][i]) x = anc[x][i], y = anc[y][i];
	return anc[x][0];
}

inline bool Check(int u, int v) {
	if (id[u] != id[v]) return false;
	if ((dep[u] & 1) ^ (dep[v] & 1)) return true;
	return (cnt[u] + cnt[v] - 2 * cnt[Get_Lca(u, v)]) > 0;
}

int main () {

	File();

	n = read(); m = read();
	Logn = ceil(log2(n));

	For (i, 1, m) {
		int u = read(), v = read();
		G[u].push_back(v); G[v].push_back(u);
	}
	For (i, 1, n) if (!dfn[i]) ++ version, Dfs_Init(i), Tarjan(i), Dfs_Calc(i);

	int q = read();
	For (i, 1, q) {
		int u = read(), v = read();
		puts(Check(u, v) ? "Yes" : "No");
	}

	return 0;
}