IOI2008 island

题目链接：[IOI2008]Island

题目大意：求基环树直径（由于题目的意思其实是类似于每个点只有一个出度，所以在每个联通块中点数和边数应该是相同的，这就是一棵基环树，所以题目给出的图就是一个基环树森林，又由于乘船的操作，可以知道答案就是将所有的直径相加起来的和）

分析：类似于树的直径，我们可以类推出基环树的直径也是有以下两种情况

​ 1、是某个外向树的直径

​ 2、两个点处于两课不同的外向树中（中间横跨了一段环上的边）

​ 我们首先要把环找到

​ 对于1的处理，我们可以对环上的点及其外向树直接进行dfs求解

​ 对于2，我们会稍微复杂一点，首先可以明确的是，这两个点肯定是道他们对应的根节点距离最大的点，我们记以\(u\)为根节点的树中的最大距离是\(dis_u\)，再在环上任选一个点，环上到这个点的距离为\(sum_i\)（所有的距离应是同向的），环上的每一条边的距离和为\(sum_{cnt}\)，那么答案就应该是这样的

\[ans=max(ans,max(dis_i+dis_j+(sum_i-sum_j),dis_i+dis_j+sum_{cnt}-(sum_i-sum_j)))
\]

将其变形可以得到

\[ans=max(ans,max((sum_i+dis[i])-(sum_j-dis[j]),sum_{cnt}-(sum_i-dis[i])+(sum_j+dis[j])))
\]

注意到所有的\(dis\)和\(sum\)均已知，且我们保证在处理节点\(i\)之前已经处理了点\(j\)，并且通过我们的整理，上面的式子其实只剩下了两种形式：\(sum_i+dis[i]\)和\(sum_i-dis[i]\)

那么为了保证这个最大值，我们可以记录\(mind=min(sum_i-dis[i])\)和\(maxd=max(sum_i+dis[i])\)，每次寻找\(ans\)时直接使用这两个值更新答案可以保证最优，同时沿途更新这两个值

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
struct node{
	int to,nxt,cost;
}sq[2000100];
int n,head[1000100],cp[1001000],fa[1001000],
    sq1[1001000][3],all=0,cnt=0;
bool vis[1001000],cir[1001000];
long long dis[1001000],sum[1001000],ans;

int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
	return x*f;
}

void add(int u,int v,int w)
{
	all++;sq[all].to=v;sq[all].nxt=head[u];sq[all].cost=w;head[u]=all;
}

void init()
{
	n=read();
	int i;
	memset(head,0,sizeof(head));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(cir,0,sizeof(cir));
	memset(dis,0,sizeof(dis));
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		int v=read(),w=read();
		add(i,v,w);add(v,i,w);
		sq1[i][0]=i;sq1[i][1]=v;sq1[i][2]=w;
	}
}

void findcircle(int u)
{
	vis[u]=1;cnt=0;
	while (1)
	{
		int v=sq1[u][1];
		if (vis[v])
		{
			cp[++cnt]=v;cir[v]=1;int i;sum[cnt]=sq1[v][2];
			for (i=u;i!=v;i=fa[i])
			{
				cir[i]=1;cp[++cnt]=i;sum[cnt]=sq1[i][2];
			}
			for (i=1;i<=cnt;i++) sum[i]+=sum[i-1];
			break;
		}
		else {vis[v]=1;fa[v]=u;}
		u=v;
	}
}

void find_d(int u)
{
	cir[u]=1;
	int i;
	for (i=head[u];i;i=sq[i].nxt)
	{
		int v=sq[i].to,w=sq[i].cost;
		if (cir[v]) continue;
		find_d(v);
		ans=max(ans,dis[u]+dis[v]+w);
		dis[u]=max(dis[u],dis[v]+w);
	}
}

long long findans(int u)
{
	sum[0]=0;
	findcircle(u);
	int i;
	ans=0;long long mind=1e18+7,maxd=-mind;
	for (i=1;i<=cnt;i++) find_d(cp[i]);
	for (i=1;i<=cnt;i++)
	{
		int v=cp[i];
		ans=max(ans,max(sum[i]+dis[v]-mind,sum[cnt]-(sum[i]-dis[v])+maxd));
		mind=min(mind,sum[i]-dis[v]);
		maxd=max(maxd,sum[i]+dis[v]);
	}
	//cout << 1;
	//for (i=1;i<=n;i++) cout << vis[i] << " ";cout << endl;
	return ans;
}

void work()
{
	long long sumans=0;
	int i;
	for (i=1;i<=n;i++) if (!cir[i]) sumans+=findans(i);
	printf("%lld",sumans);
}

int main()
{
	init();
	work();
	return 0;
}
/*
7
3 8
7 2
4 2
1 4
1 9
3 4
2 3
*/