●HDU 6021 MG loves string

题链：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6021

题解：

题意：
对于一个长度为 N的由小写英文字母构成的随机字符串，
当它进行一次变换，所有字符 i 都会变成a[i]。
同时变换数组：a[i]是26个字母组成的排列。
现在需要知道这个随机串变换到自身的期望变换次数。
请你输出期望答案乘上26^N以后模 1000000007的结果。

---

容斥，LCM
其实题目要求的就是每种串(共有 26^N种串)回到自身的变化次数之和。

暴力求法就是:
看每种串的每个字符在循环长度为多少的循环里(设第i个位置的字符的循环长度为 Di),
则该串的变化次数为 LCM(D1,D2,D3...,DN)(最小公倍数)

不难发现，对于给定的变化数组 a[ ]，循环长度不同的循环节的种类个数不超过 6 个(1+2+3+4+5+6+7>26)
6很小，所以就可以在这个 "6" 上面搞事情。

枚举循环节的集合 S，表示串里的字符只能是这些循环节的字母集合里的字母。
就是把 N 个字符放到那些循环节的字母集合中去。
(假设这个集合的循环节只包含了 W 个字母)
但是我们要使得串的变化次数为 LCM(Di, ${i}\epsilon{S}$ )，(即答案为这些循环节长度的 LCM)
那么每个循环节里面都至少要有一个字符被在里面。
所以问题转化为：N个东西分到 M 个盒子，每个盒子都至少有一个东西。
求法如下：
设 f[S] 表示在 S集合的循环节里随便放的方案数，即每个字符可以随便选择 W 个字母里面的任意一个。
显然 f[S] = $W^N$。但是这个 f[S] 有非法方案，即存在某些循环节里没有放字符。
所以容斥如下：
ANS = 没有涵盖至少 0个循环节的方案数(即f[S])
          -没有涵盖至少 1个循环节的方案数
          +没有涵盖至少 2个循环节的方案数
          -...+... 
用于容斥的方案数就直接枚举 S 的子集 _S,(方案数即为 f[_S])。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define _ % mod
#define filein(x) freopen(#x".in","r",stdin);
#define fileout(x) freopen(#x".out","w",stdout);
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int f[100],vis[100],d[100],g[100],h[100],tot;;
char S[100];
int T,N,ANS;
int gcd(int a,int b){
	while(b^=a^=b^=a%=b);
	return a;
}
int pow(int a,int b){
	int now=1;
	while(b){
		if(b&1) now=(1ll*now*a)_;
		a=(1ll*a*a)_; b>>=1;
	}
	return now;
}
void precircle(){
	tot=0;
	scanf("%d",&N);
	scanf("%s",S+1);
	memset(d,0,sizeof(d));
	memset(h,0,sizeof(h));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=1;i<=26;i++)
		if(!vis[S[i]-'a'+1]){
		int tmp=0,p=S[i]-'a'+1;
		while(!vis[p]) tmp++,vis[p]=1,p=S[p]-'a'+1;
		d[tmp]++;
	}
	for(int i=1;i<=26;i++)
		if(d[i]) tot++,g[tot]=d[i],d[tot]=i;
	for(int s=1,cnt;cnt=0,s<(1<<tot);s++){
		for(int i=1;i<=tot;i++)
			if(s&(1<<(i-1)))
				cnt+=g[i]*d[i],h[s]++;
		f[s]=pow(cnt,N);
	}
	/*for(int s=1,tmp;s<(1<<tot);s++){
		for(int _s=s;_s;_s=(_s-1)&s){
			if(s==_s) continue;
			tmp=-f[_s];
			tmp=(1ll*tmp+mod)_;
			f[s]=(1ll*f[s]+tmp+mod)_;
		}
	}正推就不用容斥了*/
	for(int s=1,tmp;s<(1<<tot);s++){
        for(int _s=s;_s;_s=(_s-1)&s){
            if(s==_s) continue;
            tmp=-f[_s];
            tmp=(1ll*tmp+mod)_;
            f[s]=(1ll*f[s]+tmp+mod)_;
        }
    }//逆推需要容斥
}
void dfs(int p,int s,int lcm){
	if(p==tot+1){
		ANS=(1ll*ANS+(1ll*f[s]*lcm)_)_;
		return;
	}
	dfs(p+1,s,lcm);
	dfs(p+1,s|(1<<(p-1)),1ll*lcm/gcd(lcm,d[p])*d[p]);
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		ANS=0;
		precircle();
		dfs(1,0,1);
		printf("%d\n",ANS);
	}
	return 0;
}