bzoj2839: 集合计数 容斥+组合

2839: 集合计数

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Description

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得

它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

Input

一行两个整数N,K

Output

一行为答案。

Sample Input

3 2

Sample Output

6

HINT

【样例说明】
假设原集合为{A,B,C}
则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}
【数据说明】
     对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

选出k个重合元素的集合的方案数
首先是k个元素的选择C(n,k)
再考虑其他元素不交的方案m
容斥： m=任意选集合的方案数-C(n-k,1)交集至少为1的方案+C(n-k,2)交集至少为2的方案...
ans=C(n,k)*sum(C(n-k,i)*(2^(2^(n-i-k))-1))  0<=i<=n-k
i=0是任意选的方案数
处理组合数可以用公式
其中涉及逆元，可以用递推求逆元数组
因为mod是一个质数，也可以考虑费马小定理

推荐blog
https://www.cnblogs.com/candy99/p/6613808.html

/*
选出k个重合元素的集合的方案数
首先是k个元素的选择C(n,k)
再考虑其他元素不交的方案m
容斥： m=任意选集合的方案数-C(n-k,1)交集至少为1的方案+C(n-k,2)交集至少为2的方案...
ans=C(n,k)*sum(C(n-k,i)*(2^(2^(n-i-k))-1))  0<=i<=n-k
i=0是任意选的方案数
处理组合数可以用公式
其中涉及逆元，可以用递推求逆元数组
因为mod是一个质数，也可以考虑费马小定理 

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*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
#define N 1000100
#define mod 1000000007
using namespace std;
int fac[N],n,k,now=2;

ll quick(int a,int b){
    ll c=1;
    while(b){
        if(b&1)c=(c*a)%mod;
        a=(1ll*a*a)%mod;b>>=1;
    }
    return c;
}

int C(int n,int m){
    int ans=fac[n];
    ll div1=quick(fac[m],mod-2);
    ll div2=quick(fac[n-m],mod-2);
    ans=(ans*div1)%mod;
    ans=(ans*div2)%mod;
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    fac[i]=(1ll*fac[i-1]*i)%mod;
    n-=k;ll ans=0;
    for(int i=n;~i;i--){
        (ans+=1ll*(i&1?-1:1)*C(n,i)*(now-1))%=mod;
        now=(1ll*now*now)%mod;
    }
    ans=(ans*C(n+k,k))%mod;
    ans<0?ans+=mod:1;
    cout<<ans;
    return 0;
}